Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28663 / 45260
↖ ↑ ↗
← S 56.401744°
W 22.549439°		 ← 338.02 m → S 56.401744°
W 22.543945°		 →
↑
337.98 m
↓
↑
337.98 m
↓
S 56.404784°
W 22.549439°		 ← 338 m →
114 242 m²		 S 56.404784°
W 22.543945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437370300292969 y=0.690620422363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437370300292969 × 216)
    floor (0.437370300292969 × 65536)
    floor (28663.5)     		tx = 28663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690620422363281 × 216)
    floor (0.690620422363281 × 65536)
    floor (45260.5)     		ty = 45260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28663 / 45260 ti = "16/28663/45260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28663/45260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28663 ÷ 216
    28663 ÷ 65536     		x = 0.437362670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45260 ÷ 216
    45260 ÷ 65536     		y = 0.69061279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437362670898438 × 2 - 1) × π
    -0.125274658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39356195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69061279296875 × 2 - 1) × π
    -0.3812255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19765550010748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39356195} λ = -0.39356195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19765550010748))-π/2
    2×atan(0.301901190141012)-π/2
    2×0.293200091645973-π/2
    0.586400183291945-1.57079632675     		φ = -0.98439614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39356195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.549439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98439614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.401744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28663 KachelY 45260 -0.39356195 -0.98439614 -22.549439 -56.401744
    Oben rechts KachelX + 1 28664 KachelY 45260 -0.39346607 -0.98439614 -22.543945 -56.401744
    Unten links KachelX 28663 KachelY + 1 45261 -0.39356195 -0.98444919 -22.549439 -56.404784
    Unten rechts KachelX + 1 28664 KachelY + 1 45261 -0.39346607 -0.98444919 -22.543945 -56.404784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98439614--0.98444919) × R
    5.30499999999989e-05 × 6371000     		dl = 337.981549999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98439614--0.98444919) × R
    5.30499999999989e-05 × 6371000     		dr = 337.981549999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39356195--0.39346607) × cos(-0.98439614) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.553366193302472 × 6371000     		do = 338.024558160755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39356195--0.39346607) × cos(-0.98444919) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.553322005158329 × 6371000     		du = 337.997565767507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98439614)-sin(-0.98444919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553366193302472-0.553322005158329)×R²
    abs(-0.39346607--0.39356195)×4.418814414342e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.418814414342e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.418814414342e-05×40589641000000     		ar = 114241.502666705m²