Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28653 / 45328
↖ ↑ ↗
← S 56.607885°
W 22.604370°		 ← 336.16 m → S 56.607885°
W 22.598877°		 →
↑
336.20 m
↓
↑
336.20 m
↓
S 56.610909°
W 22.604370°		 ← 336.13 m →
113 011 m²		 S 56.610909°
W 22.598877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437217712402344 y=0.691658020019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437217712402344 × 216)
    floor (0.437217712402344 × 65536)
    floor (28653.5)     		tx = 28653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691658020019531 × 216)
    floor (0.691658020019531 × 65536)
    floor (45328.5)     		ty = 45328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28653 / 45328 ti = "16/28653/45328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28653/45328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28653 ÷ 216
    28653 ÷ 65536     		x = 0.437210083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45328 ÷ 216
    45328 ÷ 65536     		y = 0.691650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437210083007812 × 2 - 1) × π
    -0.125579833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39452068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691650390625 × 2 - 1) × π
    -0.38330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.20417491845581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39452068} λ = -0.39452068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20417491845581))-π/2
    2×atan(0.299939371888143)-π/2
    2×0.291401171428793-π/2
    0.582802342857586-1.57079632675     		φ = -0.98799398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39452068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.604370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98799398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.607885°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28653 KachelY 45328 -0.39452068 -0.98799398 -22.604370 -56.607885
    Oben rechts KachelX + 1 28654 KachelY 45328 -0.39442481 -0.98799398 -22.598877 -56.607885
    Unten links KachelX 28653 KachelY + 1 45329 -0.39452068 -0.98804675 -22.604370 -56.610909
    Unten rechts KachelX + 1 28654 KachelY + 1 45329 -0.39442481 -0.98804675 -22.598877 -56.610909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98799398--0.98804675) × R
    5.27699999999243e-05 × 6371000     		dl = 336.197669999518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98799398--0.98804675) × R
    5.27699999999243e-05 × 6371000     		dr = 336.197669999518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39452068--0.39442481) × cos(-0.98799398) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.550365840294863 × 6371000     		do = 336.156724277868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39452068--0.39442481) × cos(-0.98804675) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.550321780609459 × 6371000     		du = 336.129813160873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98799398)-sin(-0.98804675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550365840294863-0.550321780609459)×R²
    abs(-0.39442481--0.39452068)×4.40596854043296e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40596854043296e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40596854043296e-05×40589641000000     		ar = 113010.583755464m²