Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28646 / 44322
↖ ↑ ↗
← S 53.442264°
W 22.642822°		 ← 363.81 m → S 53.442264°
W 22.637329°		 →
↑
363.78 m
↓
↑
363.78 m
↓
S 53.445535°
W 22.642822°		 ← 363.78 m →
132 341 m²		 S 53.445535°
W 22.637329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437110900878906 y=0.676307678222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437110900878906 × 216)
    floor (0.437110900878906 × 65536)
    floor (28646.5)     		tx = 28646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676307678222656 × 216)
    floor (0.676307678222656 × 65536)
    floor (44322.5)     		ty = 44322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28646 / 44322 ti = "16/28646/44322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28646/44322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28646 ÷ 216
    28646 ÷ 65536     		x = 0.437103271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44322 ÷ 216
    44322 ÷ 65536     		y = 0.676300048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437103271484375 × 2 - 1) × π
    -0.12579345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39519180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676300048828125 × 2 - 1) × π
    -0.35260009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.10772587642026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39519180} λ = -0.39519180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10772587642026))-π/2
    2×atan(0.330309271705673)-π/2
    2×0.319026434291942-π/2
    0.638052868583884-1.57079632675     		φ = -0.93274346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39519180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.642822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93274346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.442264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28646 KachelY 44322 -0.39519180 -0.93274346 -22.642822 -53.442264
    Oben rechts KachelX + 1 28647 KachelY 44322 -0.39509593 -0.93274346 -22.637329 -53.442264
    Unten links KachelX 28646 KachelY + 1 44323 -0.39519180 -0.93280056 -22.642822 -53.445535
    Unten rechts KachelX + 1 28647 KachelY + 1 44323 -0.39509593 -0.93280056 -22.637329 -53.445535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93274346--0.93280056) × R
    5.71000000000321e-05 × 6371000     		dl = 363.784100000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93274346--0.93280056) × R
    5.71000000000321e-05 × 6371000     		dr = 363.784100000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39519180--0.39509593) × cos(-0.93274346) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59563252298396 × 6371000     		do = 363.805060452839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39519180--0.39509593) × cos(-0.93280056) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.5955866560351 × 6371000     		du = 363.777045481428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93274346)-sin(-0.93280056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59563252298396-0.5955866560351)×R²
    abs(-0.39509593--0.39519180)×4.5866948859774e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5866948859774e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5866948859774e-05×40589641000000     		ar = 132341.400827713m²