Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28635 / 45333
↖ ↑ ↗
← S 56.622999°
W 22.703247°		 ← 336.02 m → S 56.622999°
W 22.697754°		 →
↑
336.01 m
↓
↑
336.01 m
↓
S 56.626021°
W 22.703247°		 ← 336 m →
112 901 m²		 S 56.626021°
W 22.697754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436943054199219 y=0.691734313964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436943054199219 × 216)
    floor (0.436943054199219 × 65536)
    floor (28635.5)     		tx = 28635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691734313964844 × 216)
    floor (0.691734313964844 × 65536)
    floor (45333.5)     		ty = 45333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28635 / 45333 ti = "16/28635/45333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28635/45333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28635 ÷ 216
    28635 ÷ 65536     		x = 0.436935424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45333 ÷ 216
    45333 ÷ 65536     		y = 0.691726684570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436935424804688 × 2 - 1) × π
    -0.126129150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39624641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691726684570312 × 2 - 1) × π
    -0.383453369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.20465428745201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39624641} λ = -0.39624641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20465428745201))-π/2
    2×atan(0.299795624709243)-π/2
    2×0.291269283665817-π/2
    0.582538567331634-1.57079632675     		φ = -0.98825776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39624641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.703247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98825776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.622999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28635 KachelY 45333 -0.39624641 -0.98825776 -22.703247 -56.622999
    Oben rechts KachelX + 1 28636 KachelY 45333 -0.39615054 -0.98825776 -22.697754 -56.622999
    Unten links KachelX 28635 KachelY + 1 45334 -0.39624641 -0.98831050 -22.703247 -56.626021
    Unten rechts KachelX + 1 28636 KachelY + 1 45334 -0.39615054 -0.98831050 -22.697754 -56.626021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98825776--0.98831050) × R
    5.27399999999956e-05 × 6371000     		dl = 336.006539999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98825776--0.98831050) × R
    5.27399999999956e-05 × 6371000     		dr = 336.006539999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39624641--0.39615054) × cos(-0.98825776) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.550145584999222 × 6371000     		do = 336.022195037013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39624641--0.39615054) × cos(-0.98831050) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.550101542707679 × 6371000     		du = 335.995294543976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98825776)-sin(-0.98831050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550145584999222-0.550101542707679)×R²
    abs(-0.39615054--0.39624641)×4.40422915425343e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40422915425343e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40422915425343e-05×40589641000000     		ar = 112901.135772827m²