Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28625 / 45270
↖ ↑ ↗
← S 56.432129°
W 22.758179°		 ← 337.72 m → S 56.432129°
W 22.752686°		 →
↑
337.73 m
↓
↑
337.73 m
↓
S 56.435167°
W 22.758179°		 ← 337.69 m →
114 052 m²		 S 56.435167°
W 22.752686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436790466308594 y=0.690773010253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436790466308594 × 216)
    floor (0.436790466308594 × 65536)
    floor (28625.5)     		tx = 28625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690773010253906 × 216)
    floor (0.690773010253906 × 65536)
    floor (45270.5)     		ty = 45270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28625 / 45270 ti = "16/28625/45270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28625/45270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28625 ÷ 216
    28625 ÷ 65536     		x = 0.436782836914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45270 ÷ 216
    45270 ÷ 65536     		y = 0.690765380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436782836914062 × 2 - 1) × π
    -0.126434326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39720515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690765380859375 × 2 - 1) × π
    -0.38153076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.19861423809988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39720515} λ = -0.39720515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19861423809988))-π/2
    2×atan(0.301611884706289)-π/2
    2×0.292934930951891-π/2
    0.585869861903783-1.57079632675     		φ = -0.98492646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39720515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.758179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98492646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.432129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28625 KachelY 45270 -0.39720515 -0.98492646 -22.758179 -56.432129
    Oben rechts KachelX + 1 28626 KachelY 45270 -0.39710928 -0.98492646 -22.752686 -56.432129
    Unten links KachelX 28625 KachelY + 1 45271 -0.39720515 -0.98497947 -22.758179 -56.435167
    Unten rechts KachelX + 1 28626 KachelY + 1 45271 -0.39710928 -0.98497947 -22.752686 -56.435167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98492646--0.98497947) × R
    5.301000000002e-05 × 6371000     		dl = 337.726710000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98492646--0.98497947) × R
    5.301000000002e-05 × 6371000     		dr = 337.726710000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39720515--0.39710928) × cos(-0.98492646) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.552924391782932 × 6371000     		do = 337.719456235696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39720515--0.39710928) × cos(-0.98497947) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55288022140794 × 6371000     		du = 337.692477510855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98492646)-sin(-0.98497947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552924391782932-0.55288022140794)×R²
    abs(-0.39710928--0.39720515)×4.41703749918254e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41703749918254e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41703749918254e-05×40589641000000     		ar = 114052.325165954m²