Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28624 / 45294
↖ ↑ ↗
← S 56.504955°
W 22.763672°		 ← 337.07 m → S 56.504955°
W 22.758179°		 →
↑
337.09 m
↓
↑
337.09 m
↓
S 56.507987°
W 22.763672°		 ← 337.05 m →
113 619 m²		 S 56.507987°
W 22.758179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436775207519531 y=0.691139221191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436775207519531 × 216)
    floor (0.436775207519531 × 65536)
    floor (28624.5)     		tx = 28624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691139221191406 × 216)
    floor (0.691139221191406 × 65536)
    floor (45294.5)     		ty = 45294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28624 / 45294 ti = "16/28624/45294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28624/45294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28624 ÷ 216
    28624 ÷ 65536     		x = 0.436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45294 ÷ 216
    45294 ÷ 65536     		y = 0.691131591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436767578125 × 2 - 1) × π
    -0.12646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39730102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691131591796875 × 2 - 1) × π
    -0.38226318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.20091520928165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39730102} λ = -0.39730102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20091520928165))-π/2
    2×atan(0.300918682276754)-π/2
    2×0.292299409001559-π/2
    0.584598818003117-1.57079632675     		φ = -0.98619751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39730102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.763672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98619751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.504955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28624 KachelY 45294 -0.39730102 -0.98619751 -22.763672 -56.504955
    Oben rechts KachelX + 1 28625 KachelY 45294 -0.39720515 -0.98619751 -22.758179 -56.504955
    Unten links KachelX 28624 KachelY + 1 45295 -0.39730102 -0.98625042 -22.763672 -56.507987
    Unten rechts KachelX + 1 28625 KachelY + 1 45295 -0.39720515 -0.98625042 -22.758179 -56.507987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98619751--0.98625042) × R
    5.29099999999616e-05 × 6371000     		dl = 337.089609999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98619751--0.98625042) × R
    5.29099999999616e-05 × 6371000     		dr = 337.089609999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39730102--0.39720515) × cos(-0.98619751) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551864866614768 × 6371000     		do = 337.072311220974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39730102--0.39720515) × cos(-0.98625042) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551820742418093 × 6371000     		du = 337.045360701284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98619751)-sin(-0.98625042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551864866614768-0.551820742418093)×R²
    abs(-0.39720515--0.39730102)×4.41241966747663e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41241966747663e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41241966747663e-05×40589641000000     		ar = 113619.031587255m²