Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28624 / 45263
↖ ↑ ↗
← S 56.410862°
W 22.763672°		 ← 337.91 m → S 56.410862°
W 22.758179°		 →
↑
337.92 m
↓
↑
337.92 m
↓
S 56.413901°
W 22.763672°		 ← 337.88 m →
114 181 m²		 S 56.413901°
W 22.758179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436775207519531 y=0.690666198730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436775207519531 × 216)
    floor (0.436775207519531 × 65536)
    floor (28624.5)     		tx = 28624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690666198730469 × 216)
    floor (0.690666198730469 × 65536)
    floor (45263.5)     		ty = 45263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28624 / 45263 ti = "16/28624/45263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28624/45263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28624 ÷ 216
    28624 ÷ 65536     		x = 0.436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45263 ÷ 216
    45263 ÷ 65536     		y = 0.690658569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436767578125 × 2 - 1) × π
    -0.12646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39730102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690658569335938 × 2 - 1) × π
    -0.381317138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.1979431215052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39730102} λ = -0.39730102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1979431215052))-π/2
    2×atan(0.301814369385082)-π/2
    2×0.293120521199503-π/2
    0.586241042399006-1.57079632675     		φ = -0.98455528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39730102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.763672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98455528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.410862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28624 KachelY 45263 -0.39730102 -0.98455528 -22.763672 -56.410862
    Oben rechts KachelX + 1 28625 KachelY 45263 -0.39720515 -0.98455528 -22.758179 -56.410862
    Unten links KachelX 28624 KachelY + 1 45264 -0.39730102 -0.98460832 -22.763672 -56.413901
    Unten rechts KachelX + 1 28625 KachelY + 1 45264 -0.39720515 -0.98460832 -22.758179 -56.413901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98455528--0.98460832) × R
    5.30399999999487e-05 × 6371000     		dl = 337.917839999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98455528--0.98460832) × R
    5.30399999999487e-05 × 6371000     		dr = 337.917839999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39730102--0.39720515) × cos(-0.98455528) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.553233632528781 × 6371000     		do = 337.908336701247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39730102--0.39720515) × cos(-0.98460832) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.553189448044213 × 6371000     		du = 337.881349358448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98455528)-sin(-0.98460832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553233632528781-0.553189448044213)×R²
    abs(-0.39720515--0.39730102)×4.41844845684436e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41844845684436e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41844845684436e-05×40589641000000     		ar = 114180.695530477m²