Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28623 / 45259
↖ ↑ ↗
← S 56.398705°
W 22.769165°		 ← 338.05 m → S 56.398705°
W 22.763672°		 →
↑
337.98 m
↓
↑
337.98 m
↓
S 56.401744°
W 22.769165°		 ← 338.02 m →
114 251 m²		 S 56.401744°
W 22.763672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436759948730469 y=0.690605163574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436759948730469 × 216)
    floor (0.436759948730469 × 65536)
    floor (28623.5)     		tx = 28623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690605163574219 × 216)
    floor (0.690605163574219 × 65536)
    floor (45259.5)     		ty = 45259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28623 / 45259 ti = "16/28623/45259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28623/45259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28623 ÷ 216
    28623 ÷ 65536     		x = 0.436752319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45259 ÷ 216
    45259 ÷ 65536     		y = 0.690597534179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436752319335938 × 2 - 1) × π
    -0.126495361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39739690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690597534179688 × 2 - 1) × π
    -0.381195068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19755962630824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39739690} λ = -0.39739690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19755962630824))-π/2
    2×atan(0.301930135942655)-π/2
    2×0.293226619364679-π/2
    0.586453238729358-1.57079632675     		φ = -0.98434309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39739690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.769165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98434309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.398705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28623 KachelY 45259 -0.39739690 -0.98434309 -22.769165 -56.398705
    Oben rechts KachelX + 1 28624 KachelY 45259 -0.39730102 -0.98434309 -22.763672 -56.398705
    Unten links KachelX 28623 KachelY + 1 45260 -0.39739690 -0.98439614 -22.769165 -56.401744
    Unten rechts KachelX + 1 28624 KachelY + 1 45260 -0.39730102 -0.98439614 -22.763672 -56.401744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98434309--0.98439614) × R
    5.30499999999989e-05 × 6371000     		dl = 337.981549999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98434309--0.98439614) × R
    5.30499999999989e-05 × 6371000     		dr = 337.981549999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39739690--0.39730102) × cos(-0.98434309) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.553410379889276 × 6371000     		do = 338.0515496027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39739690--0.39730102) × cos(-0.98439614) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.553366193302472 × 6371000     		du = 338.024558160755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98434309)-sin(-0.98439614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553410379889276-0.553366193302472)×R²
    abs(-0.39730102--0.39739690)×4.41865868034963e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.41865868034963e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.41865868034963e-05×40589641000000     		ar = 114250.625436548m²