Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28622 / 45292
↖ ↑ ↗
← S 56.498891°
W 22.774658°		 ← 337.13 m → S 56.498891°
W 22.769165°		 →
↑
337.15 m
↓
↑
337.15 m
↓
S 56.501924°
W 22.774658°		 ← 337.10 m →
113 659 m²		 S 56.501924°
W 22.769165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436744689941406 y=0.691108703613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436744689941406 × 216)
    floor (0.436744689941406 × 65536)
    floor (28622.5)     		tx = 28622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691108703613281 × 216)
    floor (0.691108703613281 × 65536)
    floor (45292.5)     		ty = 45292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28622 / 45292 ti = "16/28622/45292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28622/45292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28622 ÷ 216
    28622 ÷ 65536     		x = 0.436737060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45292 ÷ 216
    45292 ÷ 65536     		y = 0.69110107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436737060546875 × 2 - 1) × π
    -0.12652587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39749277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69110107421875 × 2 - 1) × π
    -0.3822021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.20072346168317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39749277} λ = -0.39749277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20072346168317))-π/2
    2×atan(0.300976388243732)-π/2
    2×0.292352322613442-π/2
    0.584704645226885-1.57079632675     		φ = -0.98609168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39749277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.774658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98609168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.498891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28622 KachelY 45292 -0.39749277 -0.98609168 -22.774658 -56.498891
    Oben rechts KachelX + 1 28623 KachelY 45292 -0.39739690 -0.98609168 -22.769165 -56.498891
    Unten links KachelX 28622 KachelY + 1 45293 -0.39749277 -0.98614460 -22.774658 -56.501924
    Unten rechts KachelX + 1 28623 KachelY + 1 45293 -0.39739690 -0.98614460 -22.769165 -56.501924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98609168--0.98614460) × R
    5.29200000000118e-05 × 6371000     		dl = 337.153320000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98609168--0.98614460) × R
    5.29200000000118e-05 × 6371000     		dr = 337.153320000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39749277--0.39739690) × cos(-0.98609168) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551953118711961 × 6371000     		do = 337.126214522617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39749277--0.39739690) × cos(-0.98614460) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551908989266514 × 6371000     		du = 337.099260797041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98609168)-sin(-0.98614460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551953118711961-0.551908989266514)×R²
    abs(-0.39739690--0.39749277)×4.41294454467389e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41294454467389e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41294454467389e-05×40589641000000     		ar = 113658.678742549m²