Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28621 / 45295
↖ ↑ ↗
← S 56.507987°
W 22.780152°		 ← 337.08 m → S 56.507987°
W 22.774658°		 →
↑
337.03 m
↓
↑
337.03 m
↓
S 56.511018°
W 22.780152°		 ← 337.05 m →
113 600 m²		 S 56.511018°
W 22.774658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436729431152344 y=0.691154479980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436729431152344 × 216)
    floor (0.436729431152344 × 65536)
    floor (28621.5)     		tx = 28621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691154479980469 × 216)
    floor (0.691154479980469 × 65536)
    floor (45295.5)     		ty = 45295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28621 / 45295 ti = "16/28621/45295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28621/45295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28621 ÷ 216
    28621 ÷ 65536     		x = 0.436721801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45295 ÷ 216
    45295 ÷ 65536     		y = 0.691146850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436721801757812 × 2 - 1) × π
    -0.126556396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39758865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691146850585938 × 2 - 1) × π
    -0.382293701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.20101108308089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39758865} λ = -0.39758865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20101108308089))-π/2
    2×atan(0.300889833442367)-π/2
    2×0.292272955368337-π/2
    0.584545910736675-1.57079632675     		φ = -0.98625042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39758865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.780152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98625042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.507987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28621 KachelY 45295 -0.39758865 -0.98625042 -22.780152 -56.507987
    Oben rechts KachelX + 1 28622 KachelY 45295 -0.39749277 -0.98625042 -22.774658 -56.507987
    Unten links KachelX 28621 KachelY + 1 45296 -0.39758865 -0.98630332 -22.780152 -56.511018
    Unten rechts KachelX + 1 28622 KachelY + 1 45296 -0.39749277 -0.98630332 -22.774658 -56.511018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98625042--0.98630332) × R
    5.29000000000224e-05 × 6371000     		dl = 337.025900000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98625042--0.98630332) × R
    5.29000000000224e-05 × 6371000     		dr = 337.025900000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39758865--0.39749277) × cos(-0.98625042) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.551820742418093 × 6371000     		do = 337.080517200765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39758865--0.39749277) × cos(-0.98630332) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.551776625016533 × 6371000     		du = 337.053568020728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98625042)-sin(-0.98630332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551820742418093-0.551776625016533)×R²
    abs(-0.39749277--0.39758865)×4.41174015600732e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.41174015600732e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.41174015600732e-05×40589641000000     		ar = 113600.323422908m²