Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28621 / 45235
↖ ↑ ↗
← S 56.325675°
W 22.780152°		 ← 338.70 m → S 56.325675°
W 22.774658°		 →
↑
338.62 m
↓
↑
338.62 m
↓
S 56.328721°
W 22.780152°		 ← 338.67 m →
114 685 m²		 S 56.328721°
W 22.774658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436729431152344 y=0.690238952636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436729431152344 × 216)
    floor (0.436729431152344 × 65536)
    floor (28621.5)     		tx = 28621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690238952636719 × 216)
    floor (0.690238952636719 × 65536)
    floor (45235.5)     		ty = 45235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28621 / 45235 ti = "16/28621/45235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28621/45235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28621 ÷ 216
    28621 ÷ 65536     		x = 0.436721801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45235 ÷ 216
    45235 ÷ 65536     		y = 0.690231323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436721801757812 × 2 - 1) × π
    -0.126556396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39758865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690231323242188 × 2 - 1) × π
    -0.380462646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19525865512648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39758865} λ = -0.39758865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19525865512648))-π/2
    2×atan(0.302625668377537)-π/2
    2×0.293863920360415-π/2
    0.587727840720831-1.57079632675     		φ = -0.98306849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39758865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.780152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98306849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.325675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28621 KachelY 45235 -0.39758865 -0.98306849 -22.780152 -56.325675
    Oben rechts KachelX + 1 28622 KachelY 45235 -0.39749277 -0.98306849 -22.774658 -56.325675
    Unten links KachelX 28621 KachelY + 1 45236 -0.39758865 -0.98312164 -22.780152 -56.328721
    Unten rechts KachelX + 1 28622 KachelY + 1 45236 -0.39749277 -0.98312164 -22.774658 -56.328721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98306849--0.98312164) × R
    5.31500000000573e-05 × 6371000     		dl = 338.618650000365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98306849--0.98312164) × R
    5.31500000000573e-05 × 6371000     		dr = 338.618650000365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39758865--0.39749277) × cos(-0.98306849) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.554471555531636 × 6371000     		do = 338.699770314376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39758865--0.39749277) × cos(-0.98312164) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.554427323176252 × 6371000     		du = 338.672750914626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98306849)-sin(-0.98312164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554471555531636-0.554427323176252)×R²
    abs(-0.39749277--0.39758865)×4.42323553834223e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.42323553834223e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.42323553834223e-05×40589641000000     		ar = 114685.484369886m²