Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28621 / 45225
↖ ↑ ↗
← S 56.295205°
W 22.780152°		 ← 338.97 m → S 56.295205°
W 22.774658°		 →
↑
338.94 m
↓
↑
338.94 m
↓
S 56.298253°
W 22.780152°		 ← 338.94 m →
114 885 m²		 S 56.298253°
W 22.774658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436729431152344 y=0.690086364746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436729431152344 × 216)
    floor (0.436729431152344 × 65536)
    floor (28621.5)     		tx = 28621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690086364746094 × 216)
    floor (0.690086364746094 × 65536)
    floor (45225.5)     		ty = 45225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28621 / 45225 ti = "16/28621/45225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28621/45225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28621 ÷ 216
    28621 ÷ 65536     		x = 0.436721801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45225 ÷ 216
    45225 ÷ 65536     		y = 0.690078735351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436721801757812 × 2 - 1) × π
    -0.126556396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39758865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690078735351562 × 2 - 1) × π
    -0.380157470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19429991713408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39758865} λ = -0.39758865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19429991713408))-π/2
    2×atan(0.302915946231255)-π/2
    2×0.294129822885415-π/2
    0.58825964577083-1.57079632675     		φ = -0.98253668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39758865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.780152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98253668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.295205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28621 KachelY 45225 -0.39758865 -0.98253668 -22.780152 -56.295205
    Oben rechts KachelX + 1 28622 KachelY 45225 -0.39749277 -0.98253668 -22.774658 -56.295205
    Unten links KachelX 28621 KachelY + 1 45226 -0.39758865 -0.98258988 -22.780152 -56.298253
    Unten rechts KachelX + 1 28622 KachelY + 1 45226 -0.39749277 -0.98258988 -22.774658 -56.298253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98253668--0.98258988) × R
    5.31999999999755e-05 × 6371000     		dl = 338.937199999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98253668--0.98258988) × R
    5.31999999999755e-05 × 6371000     		dr = 338.937199999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39758865--0.39749277) × cos(-0.98253668) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.554914050807609 × 6371000     		do = 338.970069208597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39758865--0.39749277) × cos(-0.98258988) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.554869792533523 × 6371000     		du = 338.943033976369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98253668)-sin(-0.98258988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554914050807609-0.554869792533523)×R²
    abs(-0.39749277--0.39758865)×4.42582740863839e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.42582740863839e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.42582740863839e-05×40589641000000     		ar = 114884.984545498m²