Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28620 / 45332
↖ ↑ ↗
← S 56.619976°
W 22.785645°		 ← 336.05 m → S 56.619976°
W 22.780152°		 →
↑
336.07 m
↓
↑
336.07 m
↓
S 56.622999°
W 22.785645°		 ← 336.02 m →
112 932 m²		 S 56.622999°
W 22.780152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436714172363281 y=0.691719055175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436714172363281 × 216)
    floor (0.436714172363281 × 65536)
    floor (28620.5)     		tx = 28620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691719055175781 × 216)
    floor (0.691719055175781 × 65536)
    floor (45332.5)     		ty = 45332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28620 / 45332 ti = "16/28620/45332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28620/45332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28620 ÷ 216
    28620 ÷ 65536     		x = 0.43670654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45332 ÷ 216
    45332 ÷ 65536     		y = 0.69171142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43670654296875 × 2 - 1) × π
    -0.1265869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39768452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69171142578125 × 2 - 1) × π
    -0.3834228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.20455841365277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39768452} λ = -0.39768452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20455841365277))-π/2
    2×atan(0.299824368632652)-π/2
    2×0.291295656995237-π/2
    0.582591313990474-1.57079632675     		φ = -0.98820501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39768452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.785645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98820501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.619976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28620 KachelY 45332 -0.39768452 -0.98820501 -22.785645 -56.619976
    Oben rechts KachelX + 1 28621 KachelY 45332 -0.39758865 -0.98820501 -22.780152 -56.619976
    Unten links KachelX 28620 KachelY + 1 45333 -0.39768452 -0.98825776 -22.785645 -56.622999
    Unten rechts KachelX + 1 28621 KachelY + 1 45333 -0.39758865 -0.98825776 -22.780152 -56.622999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98820501--0.98825776) × R
    5.27499999999348e-05 × 6371000     		dl = 336.070249999585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98820501--0.98825776) × R
    5.27499999999348e-05 × 6371000     		dr = 336.070249999585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39768452--0.39758865) × cos(-0.98820501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.550189634110927 × 6371000     		do = 336.049099695722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39768452--0.39758865) × cos(-0.98825776) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.550145584999222 × 6371000     		du = 336.022195037013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98820501)-sin(-0.98825776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550189634110927-0.550145584999222)×R²
    abs(-0.39758865--0.39768452)×4.40491117058572e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40491117058572e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40491117058572e-05×40589641000000     		ar = 112931.584045264m²