Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28609 / 45261
↖ ↑ ↗
← S 56.404784°
W 22.846069°		 ← 337.96 m → S 56.404784°
W 22.840576°		 →
↑
337.98 m
↓
↑
337.98 m
↓
S 56.407823°
W 22.846069°		 ← 337.94 m →
114 220 m²		 S 56.407823°
W 22.840576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436546325683594 y=0.690635681152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436546325683594 × 216)
    floor (0.436546325683594 × 65536)
    floor (28609.5)     		tx = 28609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690635681152344 × 216)
    floor (0.690635681152344 × 65536)
    floor (45261.5)     		ty = 45261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28609 / 45261 ti = "16/28609/45261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28609/45261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28609 ÷ 216
    28609 ÷ 65536     		x = 0.436538696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45261 ÷ 216
    45261 ÷ 65536     		y = 0.690628051757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436538696289062 × 2 - 1) × π
    -0.126922607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39873913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690628051757812 × 2 - 1) × π
    -0.381256103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19775137390672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39873913} λ = -0.39873913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19775137390672))-π/2
    2×atan(0.301872247114379)-π/2
    2×0.293173566045604-π/2
    0.586347132091209-1.57079632675     		φ = -0.98444919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39873913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.846069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98444919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.404784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28609 KachelY 45261 -0.39873913 -0.98444919 -22.846069 -56.404784
    Oben rechts KachelX + 1 28610 KachelY 45261 -0.39864326 -0.98444919 -22.840576 -56.404784
    Unten links KachelX 28609 KachelY + 1 45262 -0.39873913 -0.98450224 -22.846069 -56.407823
    Unten rechts KachelX + 1 28610 KachelY + 1 45262 -0.39864326 -0.98450224 -22.840576 -56.407823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98444919--0.98450224) × R
    5.30499999999989e-05 × 6371000     		dl = 337.981549999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98444919--0.98450224) × R
    5.30499999999989e-05 × 6371000     		dr = 337.981549999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39873913--0.39864326) × cos(-0.98444919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.553322005158329 × 6371000     		do = 337.962313622577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39873913--0.39864326) × cos(-0.98450224) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55327781545697 × 6371000     		du = 337.935323093427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98444919)-sin(-0.98450224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553322005158329-0.55327781545697)×R²
    abs(-0.39864326--0.39873913)×4.41897013588877e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41897013588877e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41897013588877e-05×40589641000000     		ar = 114220.465476148m²