Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28608 / 45242
↖ ↑ ↗
← S 56.346990°
W 22.851562°		 ← 338.48 m → S 56.346990°
W 22.846069°		 →
↑
338.43 m
↓
↑
338.43 m
↓
S 56.350034°
W 22.851562°		 ← 338.45 m →
114 545 m²		 S 56.350034°
W 22.846069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436531066894531 y=0.690345764160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436531066894531 × 216)
    floor (0.436531066894531 × 65536)
    floor (28608.5)     		tx = 28608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690345764160156 × 216)
    floor (0.690345764160156 × 65536)
    floor (45242.5)     		ty = 45242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28608 / 45242 ti = "16/28608/45242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28608/45242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28608 ÷ 216
    28608 ÷ 65536     		x = 0.4365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45242 ÷ 216
    45242 ÷ 65536     		y = 0.690338134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4365234375 × 2 - 1) × π
    -0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690338134765625 × 2 - 1) × π
    -0.38067626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19592977172116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39883500} λ = -0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19592977172116))-π/2
    2×atan(0.302422639405189)-π/2
    2×0.293677914779874-π/2
    0.587355829559748-1.57079632675     		φ = -0.98344050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98344050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.346990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28608 KachelY 45242 -0.39883500 -0.98344050 -22.851562 -56.346990
    Oben rechts KachelX + 1 28609 KachelY 45242 -0.39873913 -0.98344050 -22.846069 -56.346990
    Unten links KachelX 28608 KachelY + 1 45243 -0.39883500 -0.98349362 -22.851562 -56.350034
    Unten rechts KachelX + 1 28609 KachelY + 1 45243 -0.39873913 -0.98349362 -22.846069 -56.350034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98344050--0.98349362) × R
    5.31199999999066e-05 × 6371000     		dl = 338.427519999405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98344050--0.98349362) × R
    5.31199999999066e-05 × 6371000     		dr = 338.427519999405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39883500--0.39873913) × cos(-0.98344050) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.554161929454183 × 6371000     		do = 338.47532911021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39883500--0.39873913) × cos(-0.98349362) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.554117711112252 × 6371000     		du = 338.448321087749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98344050)-sin(-0.98349362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554161929454183-0.554117711112252)×R²
    abs(-0.39873913--0.39883500)×4.42183419305797e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42183419305797e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42183419305797e-05×40589641000000     		ar = 114544.79610934m²