Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28606 / 45250
↖ ↑ ↗
← S 56.371335°
W 22.862549°		 ← 338.26 m → S 56.371335°
W 22.857056°		 →
↑
338.24 m
↓
↑
338.24 m
↓
S 56.374377°
W 22.862549°		 ← 338.23 m →
114 407 m²		 S 56.374377°
W 22.857056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436500549316406 y=0.690467834472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436500549316406 × 216)
    floor (0.436500549316406 × 65536)
    floor (28606.5)     		tx = 28606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690467834472656 × 216)
    floor (0.690467834472656 × 65536)
    floor (45250.5)     		ty = 45250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28606 / 45250 ti = "16/28606/45250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28606/45250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28606 ÷ 216
    28606 ÷ 65536     		x = 0.436492919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45250 ÷ 216
    45250 ÷ 65536     		y = 0.690460205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436492919921875 × 2 - 1) × π
    -0.12701416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39902675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.38092041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19669676211508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39902675} λ = -0.39902675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19669676211508))-π/2
    2×atan(0.302190773076851)-π/2
    2×0.293465464173824-π/2
    0.586930928347647-1.57079632675     		φ = -0.98386540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39902675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.862549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98386540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.371335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28606 KachelY 45250 -0.39902675 -0.98386540 -22.862549 -56.371335
    Oben rechts KachelX + 1 28607 KachelY 45250 -0.39893088 -0.98386540 -22.857056 -56.371335
    Unten links KachelX 28606 KachelY + 1 45251 -0.39902675 -0.98391849 -22.862549 -56.374377
    Unten rechts KachelX + 1 28607 KachelY + 1 45251 -0.39893088 -0.98391849 -22.857056 -56.374377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98386540--0.98391849) × R
    5.30899999999779e-05 × 6371000     		dl = 338.236389999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98386540--0.98391849) × R
    5.30899999999779e-05 × 6371000     		dr = 338.236389999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39902675--0.39893088) × cos(-0.98386540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.553808188904339 × 6371000     		do = 338.259268708612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39902675--0.39893088) × cos(-0.98391849) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.553763983039294 × 6371000     		du = 338.232268306881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98386540)-sin(-0.98391849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553808188904339-0.553763983039294)×R²
    abs(-0.39893088--0.39902675)×4.4205865045055e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4205865045055e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4205865045055e-05×40589641000000     		ar = 114407.027699624m²