Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28604 / 45315
↖ ↑ ↗
← S 56.568563°
W 22.873535°		 ← 336.51 m → S 56.568563°
W 22.868042°		 →
↑
336.52 m
↓
↑
336.52 m
↓
S 56.571589°
W 22.873535°		 ← 336.48 m →
113 235 m²		 S 56.571589°
W 22.868042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436470031738281 y=0.691459655761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436470031738281 × 216)
    floor (0.436470031738281 × 65536)
    floor (28604.5)     		tx = 28604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691459655761719 × 216)
    floor (0.691459655761719 × 65536)
    floor (45315.5)     		ty = 45315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28604 / 45315 ti = "16/28604/45315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28604/45315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28604 ÷ 216
    28604 ÷ 65536     		x = 0.43646240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45315 ÷ 216
    45315 ÷ 65536     		y = 0.691452026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43646240234375 × 2 - 1) × π
    -0.1270751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39921850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691452026367188 × 2 - 1) × π
    -0.382904052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.20292855906569
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39921850} λ = -0.39921850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20292855906569))-π/2
    2×atan(0.300313437202248)-π/2
    2×0.291744326731646-π/2
    0.583488653463292-1.57079632675     		φ = -0.98730767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39921850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.873535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98730767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.568563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28604 KachelY 45315 -0.39921850 -0.98730767 -22.873535 -56.568563
    Oben rechts KachelX + 1 28605 KachelY 45315 -0.39912263 -0.98730767 -22.868042 -56.568563
    Unten links KachelX 28604 KachelY + 1 45316 -0.39921850 -0.98736049 -22.873535 -56.571589
    Unten rechts KachelX + 1 28605 KachelY + 1 45316 -0.39912263 -0.98736049 -22.868042 -56.571589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98730767--0.98736049) × R
    5.28200000000645e-05 × 6371000     		dl = 336.516220000411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98730767--0.98736049) × R
    5.28200000000645e-05 × 6371000     		dr = 336.516220000411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39921850--0.39912263) × cos(-0.98730767) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.550938727058616 × 6371000     		do = 336.506636506763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39921850--0.39912263) × cos(-0.98736049) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.550894645586417 × 6371000     		du = 336.479712082661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98730767)-sin(-0.98736049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550938727058616-0.550894645586417)×R²
    abs(-0.39912263--0.39921850)×4.40814721986982e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40814721986982e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40814721986982e-05×40589641000000     		ar = 113235.411095868m²