Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28590 / 44976
↖ ↑ ↗
← S 55.528630°
W 22.950439°		 ← 345.70 m → S 55.528630°
W 22.944946°		 →
↑
345.69 m
↓
↑
345.69 m
↓
S 55.531739°
W 22.950439°		 ← 345.68 m →
119 501 m²		 S 55.531739°
W 22.944946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436256408691406 y=0.686286926269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436256408691406 × 216)
    floor (0.436256408691406 × 65536)
    floor (28590.5)     		tx = 28590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686286926269531 × 216)
    floor (0.686286926269531 × 65536)
    floor (44976.5)     		ty = 44976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28590 / 44976 ti = "16/28590/44976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28590/44976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28590 ÷ 216
    28590 ÷ 65536     		x = 0.436248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44976 ÷ 216
    44976 ÷ 65536     		y = 0.686279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436248779296875 × 2 - 1) × π
    -0.12750244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40056073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686279296875 × 2 - 1) × π
    -0.37255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.17042734112329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40056073} λ = -0.40056073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17042734112329))-π/2
    2×atan(0.310234337043809)-π/2
    2×0.300819447535766-π/2
    0.601638895071532-1.57079632675     		φ = -0.96915743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40056073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.950439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96915743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.528630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28590 KachelY 44976 -0.40056073 -0.96915743 -22.950439 -55.528630
    Oben rechts KachelX + 1 28591 KachelY 44976 -0.40046486 -0.96915743 -22.944946 -55.528630
    Unten links KachelX 28590 KachelY + 1 44977 -0.40056073 -0.96921169 -22.950439 -55.531739
    Unten rechts KachelX + 1 28591 KachelY + 1 44977 -0.40046486 -0.96921169 -22.944946 -55.531739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96915743--0.96921169) × R
    5.42599999999727e-05 × 6371000     		dl = 345.690459999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96915743--0.96921169) × R
    5.42599999999727e-05 × 6371000     		dr = 345.690459999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40056073--0.40046486) × cos(-0.96915743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.565994354373708 × 6371000     		do = 345.702429540499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40056073--0.40046486) × cos(-0.96921169) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.565949621101901 × 6371000     		du = 345.675107005168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96915743)-sin(-0.96921169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565994354373708-0.565949621101901)×R²
    abs(-0.40046486--0.40056073)×4.47332718066518e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47332718066518e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47332718066518e-05×40589641000000     		ar = 119501.309350604m²