Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28580 / 45349
↖ ↑ ↗
← S 56.671320°
W 23.005371°		 ← 335.59 m → S 56.671320°
W 22.999878°		 →
↑
335.62 m
↓
↑
335.62 m
↓
S 56.674339°
W 23.005371°		 ← 335.57 m →
112 628 m²		 S 56.674339°
W 22.999878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436103820800781 y=0.691978454589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436103820800781 × 216)
    floor (0.436103820800781 × 65536)
    floor (28580.5)     		tx = 28580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691978454589844 × 216)
    floor (0.691978454589844 × 65536)
    floor (45349.5)     		ty = 45349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28580 / 45349 ti = "16/28580/45349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28580/45349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28580 ÷ 216
    28580 ÷ 65536     		x = 0.43609619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45349 ÷ 216
    45349 ÷ 65536     		y = 0.691970825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43609619140625 × 2 - 1) × π
    -0.1278076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40151947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691970825195312 × 2 - 1) × π
    -0.383941650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.20618826823985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40151947} λ = -0.40151947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20618826823985))-π/2
    2×atan(0.299336096524473)-π/2
    2×0.290847597479887-π/2
    0.581695194959773-1.57079632675     		φ = -0.98910113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40151947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.005371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98910113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.671320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28580 KachelY 45349 -0.40151947 -0.98910113 -23.005371 -56.671320
    Oben rechts KachelX + 1 28581 KachelY 45349 -0.40142360 -0.98910113 -22.999878 -56.671320
    Unten links KachelX 28580 KachelY + 1 45350 -0.40151947 -0.98915381 -23.005371 -56.674339
    Unten rechts KachelX + 1 28581 KachelY + 1 45350 -0.40142360 -0.98915381 -22.999878 -56.674339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98910113--0.98915381) × R
    5.26800000000271e-05 × 6371000     		dl = 335.624280000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98910113--0.98915381) × R
    5.26800000000271e-05 × 6371000     		dr = 335.624280000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40151947--0.40142360) × cos(-0.98910113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.549441117490066 × 6371000     		do = 335.591914898058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40151947--0.40142360) × cos(-0.98915381) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.549397100878744 × 6371000     		du = 335.565030090185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98910113)-sin(-0.98915381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549441117490066-0.549397100878744)×R²
    abs(-0.40142360--0.40151947)×4.40166113222507e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40166113222507e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40166113222507e-05×40589641000000     		ar = 112628.283240426m²