Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28580 / 44260
↖ ↑ ↗
← S 53.238921°
W 23.005371°		 ← 365.54 m → S 53.238921°
W 22.999878°		 →
↑
365.50 m
↓
↑
365.50 m
↓
S 53.242208°
W 23.005371°		 ← 365.52 m →
133 603 m²		 S 53.242208°
W 22.999878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436103820800781 y=0.675361633300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436103820800781 × 216)
    floor (0.436103820800781 × 65536)
    floor (28580.5)     		tx = 28580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675361633300781 × 216)
    floor (0.675361633300781 × 65536)
    floor (44260.5)     		ty = 44260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28580 / 44260 ti = "16/28580/44260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28580/44260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28580 ÷ 216
    28580 ÷ 65536     		x = 0.43609619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44260 ÷ 216
    44260 ÷ 65536     		y = 0.67535400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43609619140625 × 2 - 1) × π
    -0.1278076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40151947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67535400390625 × 2 - 1) × π
    -0.3507080078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.10178170086737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40151947} λ = -0.40151947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10178170086737))-π/2
    2×atan(0.332278535028523)-π/2
    2×0.320800935710816-π/2
    0.641601871421633-1.57079632675     		φ = -0.92919446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40151947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.005371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92919446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.238921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28580 KachelY 44260 -0.40151947 -0.92919446 -23.005371 -53.238921
    Oben rechts KachelX + 1 28581 KachelY 44260 -0.40142360 -0.92919446 -22.999878 -53.238921
    Unten links KachelX 28580 KachelY + 1 44261 -0.40151947 -0.92925183 -23.005371 -53.242208
    Unten rechts KachelX + 1 28581 KachelY + 1 44261 -0.40142360 -0.92925183 -22.999878 -53.242208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92919446--0.92925183) × R
    5.73699999999455e-05 × 6371000     		dl = 365.504269999653m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92919446--0.92925183) × R
    5.73699999999455e-05 × 6371000     		dr = 365.504269999653m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40151947--0.40142360) × cos(-0.92919446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.598479525179003 × 6371000     		do = 365.543974574734m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40151947--0.40142360) × cos(-0.92925183) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.598433562901243 × 6371000     		du = 365.515901377597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92919446)-sin(-0.92925183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598479525179003-0.598433562901243)×R²
    abs(-0.40142360--0.40151947)×4.59622777602142e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59622777602142e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59622777602142e-05×40589641000000     		ar = 133602.753179919m²