Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28577 / 45346
↖ ↑ ↗
← S 56.662265°
W 23.021850°		 ← 335.67 m → S 56.662265°
W 23.016357°		 →
↑
335.69 m
↓
↑
335.69 m
↓
S 56.665284°
W 23.021850°		 ← 335.65 m →
112 677 m²		 S 56.665284°
W 23.016357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436058044433594 y=0.691932678222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436058044433594 × 216)
    floor (0.436058044433594 × 65536)
    floor (28577.5)     		tx = 28577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691932678222656 × 216)
    floor (0.691932678222656 × 65536)
    floor (45346.5)     		ty = 45346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28577 / 45346 ti = "16/28577/45346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28577/45346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28577 ÷ 216
    28577 ÷ 65536     		x = 0.436050415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45346 ÷ 216
    45346 ÷ 65536     		y = 0.691925048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436050415039062 × 2 - 1) × π
    -0.127899169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40180709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691925048828125 × 2 - 1) × π
    -0.38385009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.20590064684213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40180709} λ = -0.40180709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20590064684213))-π/2
    2×atan(0.29942220437358)-π/2
    2×0.290926622485572-π/2
    0.581853244971144-1.57079632675     		φ = -0.98894308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40180709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.021850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98894308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.662265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28577 KachelY 45346 -0.40180709 -0.98894308 -23.021850 -56.662265
    Oben rechts KachelX + 1 28578 KachelY 45346 -0.40171122 -0.98894308 -23.016357 -56.662265
    Unten links KachelX 28577 KachelY + 1 45347 -0.40180709 -0.98899577 -23.021850 -56.665284
    Unten rechts KachelX + 1 28578 KachelY + 1 45347 -0.40171122 -0.98899577 -23.016357 -56.665284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98894308--0.98899577) × R
    5.26900000000774e-05 × 6371000     		dl = 335.687990000493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98894308--0.98899577) × R
    5.26900000000774e-05 × 6371000     		dr = 335.687990000493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40180709--0.40171122) × cos(-0.98894308) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.549573166529204 × 6371000     		do = 335.672568836204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40180709--0.40171122) × cos(-0.98899577) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.54952914613819 × 6371000     		du = 335.645681719742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98894308)-sin(-0.98899577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549573166529204-0.54952914613819)×R²
    abs(-0.40171122--0.40180709)×4.40203910138104e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40203910138104e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40203910138104e-05×40589641000000     		ar = 112676.737115871m²