Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28573 / 44948
↖ ↑ ↗
← S 55.441480°
W 23.043823°		 ← 346.50 m → S 55.441480°
W 23.038330°		 →
↑
346.45 m
↓
↑
346.45 m
↓
S 55.444595°
W 23.043823°		 ← 346.48 m →
120 043 m²		 S 55.444595°
W 23.038330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435997009277344 y=0.685859680175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435997009277344 × 216)
    floor (0.435997009277344 × 65536)
    floor (28573.5)     		tx = 28573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685859680175781 × 216)
    floor (0.685859680175781 × 65536)
    floor (44948.5)     		ty = 44948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28573 / 44948 ti = "16/28573/44948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28573/44948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28573 ÷ 216
    28573 ÷ 65536     		x = 0.435989379882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44948 ÷ 216
    44948 ÷ 65536     		y = 0.68585205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435989379882812 × 2 - 1) × π
    -0.128021240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40219059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68585205078125 × 2 - 1) × π
    -0.3717041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.16774287474457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40219059} λ = -0.40219059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16774287474457))-π/2
    2×atan(0.311068269522177)-π/2
    2×0.301579984910174-π/2
    0.603159969820349-1.57079632675     		φ = -0.96763636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40219059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.043823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96763636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.441480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28573 KachelY 44948 -0.40219059 -0.96763636 -23.043823 -55.441480
    Oben rechts KachelX + 1 28574 KachelY 44948 -0.40209471 -0.96763636 -23.038330 -55.441480
    Unten links KachelX 28573 KachelY + 1 44949 -0.40219059 -0.96769074 -23.043823 -55.444595
    Unten rechts KachelX + 1 28574 KachelY + 1 44949 -0.40209471 -0.96769074 -23.038330 -55.444595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96763636--0.96769074) × R
    5.43800000000205e-05 × 6371000     		dl = 346.454980000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96763636--0.96769074) × R
    5.43800000000205e-05 × 6371000     		dr = 346.454980000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40219059--0.40209471) × cos(-0.96763636) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.567247683107078 × 6371000     		do = 346.504086752503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40219059--0.40209471) × cos(-0.96769074) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.567202897769147 × 6371000     		du = 346.476729562545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96763636)-sin(-0.96769074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567247683107078-0.567202897769147)×R²
    abs(-0.40209471--0.40219059)×4.47853379307306e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.47853379307306e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.47853379307306e-05×40589641000000     		ar = 120043.327458006m²