Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28568 / 44620
↖ ↑ ↗
← S 54.406143°
W 23.071289°		 ← 355.54 m → S 54.406143°
W 23.065796°		 →
↑
355.50 m
↓
↑
355.50 m
↓
S 54.409340°
W 23.071289°		 ← 355.51 m →
126 389 m²		 S 54.409340°
W 23.065796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435920715332031 y=0.680854797363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435920715332031 × 216)
    floor (0.435920715332031 × 65536)
    floor (28568.5)     		tx = 28568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680854797363281 × 216)
    floor (0.680854797363281 × 65536)
    floor (44620.5)     		ty = 44620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28568 / 44620 ti = "16/28568/44620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28568/44620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28568 ÷ 216
    28568 ÷ 65536     		x = 0.4359130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44620 ÷ 216
    44620 ÷ 65536     		y = 0.68084716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4359130859375 × 2 - 1) × π
    -0.128173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40266996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68084716796875 × 2 - 1) × π
    -0.3616943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.13629626859381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40266996} λ = -0.40266996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13629626859381))-π/2
    2×atan(0.32100574186127)-π/2
    2×0.310614998288279-π/2
    0.621229996576559-1.57079632675     		φ = -0.94956633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40266996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.071289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94956633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.406143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28568 KachelY 44620 -0.40266996 -0.94956633 -23.071289 -54.406143
    Oben rechts KachelX + 1 28569 KachelY 44620 -0.40257408 -0.94956633 -23.065796 -54.406143
    Unten links KachelX 28568 KachelY + 1 44621 -0.40266996 -0.94962213 -23.071289 -54.409340
    Unten rechts KachelX + 1 28569 KachelY + 1 44621 -0.40257408 -0.94962213 -23.065796 -54.409340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94956633--0.94962213) × R
    5.57999999999392e-05 × 6371000     		dl = 355.501799999613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94956633--0.94962213) × R
    5.57999999999392e-05 × 6371000     		dr = 355.501799999613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40266996--0.40257408) × cos(-0.94956633) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.582035788656316 × 6371000     		do = 355.537422913651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40266996--0.40257408) × cos(-0.94962213) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.58199041324534 × 6371000     		du = 355.5097052767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94956633)-sin(-0.94962213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582035788656316-0.58199041324534)×R²
    abs(-0.40257408--0.40266996)×4.53754109762672e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.53754109762672e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.53754109762672e-05×40589641000000     		ar = 126389.267011232m²