Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28565 / 44950
↖ ↑ ↗
← S 55.447711°
W 23.087769°		 ← 346.45 m → S 55.447711°
W 23.082275°		 →
↑
346.39 m
↓
↑
346.39 m
↓
S 55.450826°
W 23.087769°		 ← 346.42 m →
120 002 m²		 S 55.450826°
W 23.082275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435874938964844 y=0.685890197753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435874938964844 × 216)
    floor (0.435874938964844 × 65536)
    floor (28565.5)     		tx = 28565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685890197753906 × 216)
    floor (0.685890197753906 × 65536)
    floor (44950.5)     		ty = 44950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28565 / 44950 ti = "16/28565/44950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28565/44950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28565 ÷ 216
    28565 ÷ 65536     		x = 0.435867309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44950 ÷ 216
    44950 ÷ 65536     		y = 0.685882568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435867309570312 × 2 - 1) × π
    -0.128265380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40295758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685882568359375 × 2 - 1) × π
    -0.37176513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16793462234305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40295758} λ = -0.40295758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16793462234305))-π/2
    2×atan(0.311008628646713)-π/2
    2×0.301525605013318-π/2
    0.603051210026636-1.57079632675     		φ = -0.96774512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40295758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.087769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96774512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.447711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28565 KachelY 44950 -0.40295758 -0.96774512 -23.087769 -55.447711
    Oben rechts KachelX + 1 28566 KachelY 44950 -0.40286170 -0.96774512 -23.082275 -55.447711
    Unten links KachelX 28565 KachelY + 1 44951 -0.40295758 -0.96779949 -23.087769 -55.450826
    Unten rechts KachelX + 1 28566 KachelY + 1 44951 -0.40286170 -0.96779949 -23.082275 -55.450826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96774512--0.96779949) × R
    5.43699999999703e-05 × 6371000     		dl = 346.391269999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96774512--0.96779949) × R
    5.43699999999703e-05 × 6371000     		dr = 346.391269999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40295758--0.40286170) × cos(-0.96774512) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.567158110753893 × 6371000     		do = 346.449371347993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40295758--0.40286170) × cos(-0.96779949) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.567113330297845 × 6371000     		du = 346.422017140141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96774512)-sin(-0.96779949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567158110753893-0.567113330297845)×R²
    abs(-0.40286170--0.40295758)×4.47804560477216e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.47804560477216e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.47804560477216e-05×40589641000000     		ar = 120002.300131726m²