Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28564 / 45044
↖ ↑ ↗
← S 55.739482°
W 23.093262°		 ← 343.85 m → S 55.739482°
W 23.087769°		 →
↑
343.84 m
↓
↑
343.84 m
↓
S 55.742574°
W 23.093262°		 ← 343.82 m →
118 225 m²		 S 55.742574°
W 23.087769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435859680175781 y=0.687324523925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435859680175781 × 216)
    floor (0.435859680175781 × 65536)
    floor (28564.5)     		tx = 28564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687324523925781 × 216)
    floor (0.687324523925781 × 65536)
    floor (45044.5)     		ty = 45044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28564 / 45044 ti = "16/28564/45044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28564/45044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28564 ÷ 216
    28564 ÷ 65536     		x = 0.43585205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45044 ÷ 216
    45044 ÷ 65536     		y = 0.68731689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43585205078125 × 2 - 1) × π
    -0.1282958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40305345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68731689453125 × 2 - 1) × π
    -0.3746337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17694675947162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40305345} λ = -0.40305345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17694675947162))-π/2
    2×atan(0.308218368227009)-π/2
    2×0.298979423908255-π/2
    0.597958847816511-1.57079632675     		φ = -0.97283748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40305345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.093262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97283748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.739482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28564 KachelY 45044 -0.40305345 -0.97283748 -23.093262 -55.739482
    Oben rechts KachelX + 1 28565 KachelY 45044 -0.40295758 -0.97283748 -23.087769 -55.739482
    Unten links KachelX 28564 KachelY + 1 45045 -0.40305345 -0.97289145 -23.093262 -55.742574
    Unten rechts KachelX + 1 28565 KachelY + 1 45045 -0.40295758 -0.97289145 -23.087769 -55.742574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97283748--0.97289145) × R
    5.39699999999588e-05 × 6371000     		dl = 343.842869999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97283748--0.97289145) × R
    5.39699999999588e-05 × 6371000     		dr = 343.842869999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40305345--0.40295758) × cos(-0.97283748) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.562956661892793 × 6371000     		do = 343.847044124135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40305345--0.40295758) × cos(-0.97289145) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.562912055601031 × 6371000     		du = 343.819799146662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97283748)-sin(-0.97289145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562956661892793-0.562912055601031)×R²
    abs(-0.40295758--0.40305345)×4.46062917615064e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46062917615064e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46062917615064e-05×40589641000000     		ar = 118224.67052561m²