Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28559 / 45040
↖ ↑ ↗
← S 55.727110°
W 23.120727°		 ← 343.96 m → S 55.727110°
W 23.115235°		 →
↑
343.97 m
↓
↑
343.97 m
↓
S 55.730203°
W 23.120727°		 ← 343.93 m →
118 306 m²		 S 55.730203°
W 23.115235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435783386230469 y=0.687263488769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435783386230469 × 216)
    floor (0.435783386230469 × 65536)
    floor (28559.5)     		tx = 28559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687263488769531 × 216)
    floor (0.687263488769531 × 65536)
    floor (45040.5)     		ty = 45040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28559 / 45040 ti = "16/28559/45040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28559/45040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28559 ÷ 216
    28559 ÷ 65536     		x = 0.435775756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45040 ÷ 216
    45040 ÷ 65536     		y = 0.687255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435775756835938 × 2 - 1) × π
    -0.128448486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40353282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687255859375 × 2 - 1) × π
    -0.37451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.17656326427466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40353282} λ = -0.40353282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17656326427466))-π/2
    2×atan(0.308336591158353)-π/2
    2×0.299087386604222-π/2
    0.598174773208444-1.57079632675     		φ = -0.97262155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40353282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.120727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97262155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.727110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28559 KachelY 45040 -0.40353282 -0.97262155 -23.120727 -55.727110
    Oben rechts KachelX + 1 28560 KachelY 45040 -0.40343695 -0.97262155 -23.115235 -55.727110
    Unten links KachelX 28559 KachelY + 1 45041 -0.40353282 -0.97267554 -23.120727 -55.730203
    Unten rechts KachelX + 1 28560 KachelY + 1 45041 -0.40343695 -0.97267554 -23.115235 -55.730203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97262155--0.97267554) × R
    5.39900000000593e-05 × 6371000     		dl = 343.970290000378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97262155--0.97267554) × R
    5.39900000000593e-05 × 6371000     		dr = 343.970290000378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40353282--0.40343695) × cos(-0.97262155) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.563135111979201 × 6371000     		do = 343.956039254469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40353282--0.40343695) × cos(-0.97267554) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.563090495720866 × 6371000     		du = 343.928788189535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97262155)-sin(-0.97267554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563135111979201-0.563090495720866)×R²
    abs(-0.40343695--0.40353282)×4.46162583346288e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46162583346288e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46162583346288e-05×40589641000000     		ar = 118305.971820169m²