Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28553 / 44937
↖ ↑ ↗
← S 55.407189°
W 23.153686°		 ← 346.77 m → S 55.407189°
W 23.148193°		 →
↑
346.77 m
↓
↑
346.77 m
↓
S 55.410307°
W 23.153686°		 ← 346.74 m →
120 246 m²		 S 55.410307°
W 23.148193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435691833496094 y=0.685691833496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435691833496094 × 216)
    floor (0.435691833496094 × 65536)
    floor (28553.5)     		tx = 28553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685691833496094 × 216)
    floor (0.685691833496094 × 65536)
    floor (44937.5)     		ty = 44937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28553 / 44937 ti = "16/28553/44937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28553/44937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28553 ÷ 216
    28553 ÷ 65536     		x = 0.435684204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44937 ÷ 216
    44937 ÷ 65536     		y = 0.685684204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435684204101562 × 2 - 1) × π
    -0.128631591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40410806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685684204101562 × 2 - 1) × π
    -0.371368408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16668826295293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40410806} λ = -0.40410806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16668826295293))-π/2
    2×atan(0.31139649883405)-π/2
    2×0.301879227872161-π/2
    0.603758455744322-1.57079632675     		φ = -0.96703787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40410806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.153686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96703787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.407189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28553 KachelY 44937 -0.40410806 -0.96703787 -23.153686 -55.407189
    Oben rechts KachelX + 1 28554 KachelY 44937 -0.40401219 -0.96703787 -23.148193 -55.407189
    Unten links KachelX 28553 KachelY + 1 44938 -0.40410806 -0.96709230 -23.153686 -55.410307
    Unten rechts KachelX + 1 28554 KachelY + 1 44938 -0.40401219 -0.96709230 -23.148193 -55.410307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96703787--0.96709230) × R
    5.44300000000497e-05 × 6371000     		dl = 346.773530000317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96703787--0.96709230) × R
    5.44300000000497e-05 × 6371000     		dr = 346.773530000317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40410806--0.40401219) × cos(-0.96703787) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.567740466277472 × 6371000     		do = 346.76893333637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40410806--0.40401219) × cos(-0.96709230) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.567695658246486 × 6371000     		du = 346.741565139046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96703787)-sin(-0.96709230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567740466277472-0.567695658246486)×R²
    abs(-0.40401219--0.40410806)×4.48080309858323e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.48080309858323e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.48080309858323e-05×40589641000000     		ar = 120245.541854071m²