Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28550 / 45442
↖ ↑ ↗
← S 56.950966°
W 23.170166°		 ← 333.13 m → S 56.950966°
W 23.164673°		 →
↑
333.08 m
↓
↑
333.08 m
↓
S 56.953961°
W 23.170166°		 ← 333.11 m →
110 954 m²		 S 56.953961°
W 23.164673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435646057128906 y=0.693397521972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435646057128906 × 216)
    floor (0.435646057128906 × 65536)
    floor (28550.5)     		tx = 28550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.693397521972656 × 216)
    floor (0.693397521972656 × 65536)
    floor (45442.5)     		ty = 45442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28550 / 45442 ti = "16/28550/45442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28550/45442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28550 ÷ 216
    28550 ÷ 65536     		x = 0.435638427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45442 ÷ 216
    45442 ÷ 65536     		y = 0.693389892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435638427734375 × 2 - 1) × π
    -0.12872314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40439569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.693389892578125 × 2 - 1) × π
    -0.38677978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.21510453156918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40439569} λ = -0.40439569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21510453156918))-π/2
    2×atan(0.296679000351655)-π/2
    2×0.288407227839042-π/2
    0.576814455678085-1.57079632675     		φ = -0.99398187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40439569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.170166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99398187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.950966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28550 KachelY 45442 -0.40439569 -0.99398187 -23.170166 -56.950966
    Oben rechts KachelX + 1 28551 KachelY 45442 -0.40429981 -0.99398187 -23.164673 -56.950966
    Unten links KachelX 28550 KachelY + 1 45443 -0.40439569 -0.99403415 -23.170166 -56.953961
    Unten rechts KachelX + 1 28551 KachelY + 1 45443 -0.40429981 -0.99403415 -23.164673 -56.953961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99398187--0.99403415) × R
    5.22799999999046e-05 × 6371000     		dl = 333.075879999392m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99398187--0.99403415) × R
    5.22799999999046e-05 × 6371000     		dr = 333.075879999392m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40439569--0.40429981) × cos(-0.99398187) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.545356572802748 × 6371000     		do = 333.13186962426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40439569--0.40429981) × cos(-0.99403415) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.545312750744165 × 6371000     		du = 333.105100854919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99398187)-sin(-0.99403415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545356572802748-0.545312750744165)×R²
    abs(-0.40429981--0.40439569)×4.38220585821103e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.38220585821103e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.38220585821103e-05×40589641000000     		ar = 110953.732640811m²