Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28549 / 44929
↖ ↑ ↗
← S 55.382231°
W 23.175659°		 ← 346.99 m → S 55.382231°
W 23.170166°		 →
↑
347.03 m
↓
↑
347.03 m
↓
S 55.385352°
W 23.175659°		 ← 346.96 m →
120 410 m²		 S 55.385352°
W 23.170166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435630798339844 y=0.685569763183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435630798339844 × 216)
    floor (0.435630798339844 × 65536)
    floor (28549.5)     		tx = 28549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685569763183594 × 216)
    floor (0.685569763183594 × 65536)
    floor (44929.5)     		ty = 44929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28549 / 44929 ti = "16/28549/44929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28549/44929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28549 ÷ 216
    28549 ÷ 65536     		x = 0.435623168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44929 ÷ 216
    44929 ÷ 65536     		y = 0.685562133789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435623168945312 × 2 - 1) × π
    -0.128753662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40449156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685562133789062 × 2 - 1) × π
    -0.371124267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16592127255901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40449156} λ = -0.40449156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16592127255901))-π/2
    2×atan(0.311635428574051)-π/2
    2×0.30209702235653-π/2
    0.60419404471306-1.57079632675     		φ = -0.96660228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40449156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.175659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96660228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.382231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28549 KachelY 44929 -0.40449156 -0.96660228 -23.175659 -55.382231
    Oben rechts KachelX + 1 28550 KachelY 44929 -0.40439569 -0.96660228 -23.170166 -55.382231
    Unten links KachelX 28549 KachelY + 1 44930 -0.40449156 -0.96665675 -23.175659 -55.385352
    Unten rechts KachelX + 1 28550 KachelY + 1 44930 -0.40439569 -0.96665675 -23.170166 -55.385352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96660228--0.96665675) × R
    5.44699999999176e-05 × 6371000     		dl = 347.028369999475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96660228--0.96665675) × R
    5.44699999999176e-05 × 6371000     		dr = 347.028369999475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40449156--0.40439569) × cos(-0.96660228) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.568098993406175 × 6371000     		do = 346.987917321996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40449156--0.40439569) × cos(-0.96665675) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.568054165919914 × 6371000     		du = 346.960537241628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96660228)-sin(-0.96665675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568098993406175-0.568054165919914)×R²
    abs(-0.40439569--0.40449156)×4.4827486261112e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.4827486261112e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.4827486261112e-05×40589641000000     		ar = 120409.900555476m²