Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28548 / 44932
↖ ↑ ↗
← S 55.391592°
W 23.181152°		 ← 346.91 m → S 55.391592°
W 23.175659°		 →
↑
346.90 m
↓
↑
346.90 m
↓
S 55.394712°
W 23.181152°		 ← 346.88 m →
120 337 m²		 S 55.394712°
W 23.175659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435615539550781 y=0.685615539550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435615539550781 × 216)
    floor (0.435615539550781 × 65536)
    floor (28548.5)     		tx = 28548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685615539550781 × 216)
    floor (0.685615539550781 × 65536)
    floor (44932.5)     		ty = 44932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28548 / 44932 ti = "16/28548/44932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28548/44932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28548 ÷ 216
    28548 ÷ 65536     		x = 0.43560791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44932 ÷ 216
    44932 ÷ 65536     		y = 0.68560791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43560791015625 × 2 - 1) × π
    -0.1287841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40458743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68560791015625 × 2 - 1) × π
    -0.3712158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16620889395673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40458743} λ = -0.40458743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16620889395673))-π/2
    2×atan(0.311545808445457)-π/2
    2×0.302015333312196-π/2
    0.604030666624392-1.57079632675     		φ = -0.96676566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40458743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.181152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96676566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.391592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28548 KachelY 44932 -0.40458743 -0.96676566 -23.181152 -55.391592
    Oben rechts KachelX + 1 28549 KachelY 44932 -0.40449156 -0.96676566 -23.175659 -55.391592
    Unten links KachelX 28548 KachelY + 1 44933 -0.40458743 -0.96682011 -23.181152 -55.394712
    Unten rechts KachelX + 1 28549 KachelY + 1 44933 -0.40449156 -0.96682011 -23.175659 -55.394712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96676566--0.96682011) × R
    5.44500000000392e-05 × 6371000     		dl = 346.90095000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96676566--0.96682011) × R
    5.44500000000392e-05 × 6371000     		dr = 346.90095000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40458743--0.40449156) × cos(-0.96676566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.567964530582899 × 6371000     		do = 346.905789073818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40458743--0.40449156) × cos(-0.96682011) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.567919714503426 × 6371000     		du = 346.878415960577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96676566)-sin(-0.96682011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567964530582899-0.567919714503426)×R²
    abs(-0.40449156--0.40458743)×4.48160794725982e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.48160794725982e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.48160794725982e-05×40589641000000     		ar = 120337.199940836m²