Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28547 / 45443
↖ ↑ ↗
← S 56.953961°
W 23.186646°		 ← 333.11 m → S 56.953961°
W 23.181152°		 →
↑
333.08 m
↓
↑
333.08 m
↓
S 56.956957°
W 23.186646°		 ← 333.08 m →
110 945 m²		 S 56.956957°
W 23.181152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435600280761719 y=0.693412780761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435600280761719 × 216)
    floor (0.435600280761719 × 65536)
    floor (28547.5)     		tx = 28547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.693412780761719 × 216)
    floor (0.693412780761719 × 65536)
    floor (45443.5)     		ty = 45443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28547 / 45443 ti = "16/28547/45443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28547/45443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28547 ÷ 216
    28547 ÷ 65536     		x = 0.435592651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45443 ÷ 216
    45443 ÷ 65536     		y = 0.693405151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435592651367188 × 2 - 1) × π
    -0.128814697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40468331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.693405151367188 × 2 - 1) × π
    -0.386810302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.21520040536842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40468331} λ = -0.40468331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.21520040536842))-π/2
    2×atan(0.296650557972198)-π/2
    2×0.288381086186221-π/2
    0.576762172372442-1.57079632675     		φ = -0.99403415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40468331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.186646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.99403415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.953961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28547 KachelY 45443 -0.40468331 -0.99403415 -23.186646 -56.953961
    Oben rechts KachelX + 1 28548 KachelY 45443 -0.40458743 -0.99403415 -23.181152 -56.953961
    Unten links KachelX 28547 KachelY + 1 45444 -0.40468331 -0.99408643 -23.186646 -56.956957
    Unten rechts KachelX + 1 28548 KachelY + 1 45444 -0.40458743 -0.99408643 -23.181152 -56.956957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.99403415--0.99408643) × R
    5.22800000000156e-05 × 6371000     		dl = 333.0758800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.99403415--0.99408643) × R
    5.22800000000156e-05 × 6371000     		dr = 333.0758800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40468331--0.40458743) × cos(-0.99403415) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.545312750744165 × 6371000     		do = 333.105100854919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40468331--0.40458743) × cos(-0.99408643) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.545268927195135 × 6371000     		du = 333.078331175135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.99403415)-sin(-0.99408643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545312750744165-0.545268927195135)×R²
    abs(-0.40458743--0.40468331)×4.38235490300976e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.38235490300976e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.38235490300976e-05×40589641000000     		ar = 110944.816457586m²