Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28543 / 44930
↖ ↑ ↗
← S 55.385352°
W 23.208618°		 ← 346.96 m → S 55.385352°
W 23.203125°		 →
↑
346.96 m
↓
↑
346.96 m
↓
S 55.388472°
W 23.208618°		 ← 346.93 m →
120 378 m²		 S 55.388472°
W 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435539245605469 y=0.685585021972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435539245605469 × 216)
    floor (0.435539245605469 × 65536)
    floor (28543.5)     		tx = 28543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685585021972656 × 216)
    floor (0.685585021972656 × 65536)
    floor (44930.5)     		ty = 44930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28543 / 44930 ti = "16/28543/44930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28543/44930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28543 ÷ 216
    28543 ÷ 65536     		x = 0.435531616210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44930 ÷ 216
    44930 ÷ 65536     		y = 0.685577392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435531616210938 × 2 - 1) × π
    -0.128936767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40506680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685577392578125 × 2 - 1) × π
    -0.37115478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.16601714635825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40506680} λ = -0.40506680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16601714635825))-π/2
    2×atan(0.311605552333733)-π/2
    2×0.302069790526519-π/2
    0.604139581053038-1.57079632675     		φ = -0.96665675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40506680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.208618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96665675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.385352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28543 KachelY 44930 -0.40506680 -0.96665675 -23.208618 -55.385352
    Oben rechts KachelX + 1 28544 KachelY 44930 -0.40497093 -0.96665675 -23.203125 -55.385352
    Unten links KachelX 28543 KachelY + 1 44931 -0.40506680 -0.96671121 -23.208618 -55.388472
    Unten rechts KachelX + 1 28544 KachelY + 1 44931 -0.40497093 -0.96671121 -23.203125 -55.388472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96665675--0.96671121) × R
    5.44600000000894e-05 × 6371000     		dl = 346.96466000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96665675--0.96671121) × R
    5.44600000000894e-05 × 6371000     		dr = 346.96466000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40506680--0.40497093) × cos(-0.96665675) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568054165919914 × 6371000     		do = 346.960537241427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40506680--0.40497093) × cos(-0.96671121) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568009344978468 × 6371000     		du = 346.933161158552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96665675)-sin(-0.96671121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568054165919914-0.568009344978468)×R²
    abs(-0.40497093--0.40506680)×4.48209414460887e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.48209414460887e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.48209414460887e-05×40589641000000     		ar = 120378.29560057m²