Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28538 / 44943
↖ ↑ ↗
← S 55.425896°
W 23.236084°		 ← 346.60 m → S 55.425896°
W 23.230591°		 →
↑
346.65 m
↓
↑
346.65 m
↓
S 55.429014°
W 23.236084°		 ← 346.58 m →
120 144 m²		 S 55.429014°
W 23.230591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435462951660156 y=0.685783386230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435462951660156 × 216)
    floor (0.435462951660156 × 65536)
    floor (28538.5)     		tx = 28538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685783386230469 × 216)
    floor (0.685783386230469 × 65536)
    floor (44943.5)     		ty = 44943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28538 / 44943 ti = "16/28538/44943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28538/44943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28538 ÷ 216
    28538 ÷ 65536     		x = 0.435455322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44943 ÷ 216
    44943 ÷ 65536     		y = 0.685775756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435455322265625 × 2 - 1) × π
    -0.12908935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40554617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685775756835938 × 2 - 1) × π
    -0.371551513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16726350574837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40554617} λ = -0.40554617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16726350574837))-π/2
    2×atan(0.311217421752909)-π/2
    2×0.301715972226295-π/2
    0.60343194445259-1.57079632675     		φ = -0.96736438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40554617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.236084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96736438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.425896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28538 KachelY 44943 -0.40554617 -0.96736438 -23.236084 -55.425896
    Oben rechts KachelX + 1 28539 KachelY 44943 -0.40545030 -0.96736438 -23.230591 -55.425896
    Unten links KachelX 28538 KachelY + 1 44944 -0.40554617 -0.96741879 -23.236084 -55.429014
    Unten rechts KachelX + 1 28539 KachelY + 1 44944 -0.40545030 -0.96741879 -23.230591 -55.429014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96736438--0.96741879) × R
    5.44099999999492e-05 × 6371000     		dl = 346.646109999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96736438--0.96741879) × R
    5.44099999999492e-05 × 6371000     		dr = 346.646109999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40554617--0.40545030) × cos(-0.96736438) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.567471650503679 × 6371000     		do = 346.604743949354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40554617--0.40545030) × cos(-0.96741879) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.567426848854107 × 6371000     		du = 346.57737964972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96736438)-sin(-0.96741879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567471650503679-0.567426848854107)×R²
    abs(-0.40545030--0.40554617)×4.48016495717685e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.48016495717685e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.48016495717685e-05×40589641000000     		ar = 120144.443362996m²