Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28536 / 44938
↖ ↑ ↗
← S 55.410307°
W 23.247070°		 ← 346.78 m → S 55.410307°
W 23.241577°		 →
↑
346.77 m
↓
↑
346.77 m
↓
S 55.413426°
W 23.247070°		 ← 346.75 m →
120 249 m²		 S 55.413426°
W 23.241577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435432434082031 y=0.685707092285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435432434082031 × 216)
    floor (0.435432434082031 × 65536)
    floor (28536.5)     		tx = 28536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685707092285156 × 216)
    floor (0.685707092285156 × 65536)
    floor (44938.5)     		ty = 44938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28536 / 44938 ti = "16/28536/44938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28536/44938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28536 ÷ 216
    28536 ÷ 65536     		x = 0.4354248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44938 ÷ 216
    44938 ÷ 65536     		y = 0.685699462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4354248046875 × 2 - 1) × π
    -0.129150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40573792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.685699462890625 × 2 - 1) × π
    -0.37139892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16678413675217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40573792} λ = -0.40573792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16678413675217))-π/2
    2×atan(0.311366645499736)-π/2
    2×0.301852013228432-π/2
    0.603704026456865-1.57079632675     		φ = -0.96709230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40573792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96709230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.410307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28536 KachelY 44938 -0.40573792 -0.96709230 -23.247070 -55.410307
    Oben rechts KachelX + 1 28537 KachelY 44938 -0.40564204 -0.96709230 -23.241577 -55.410307
    Unten links KachelX 28536 KachelY + 1 44939 -0.40573792 -0.96714673 -23.247070 -55.413426
    Unten rechts KachelX + 1 28537 KachelY + 1 44939 -0.40564204 -0.96714673 -23.241577 -55.413426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96709230--0.96714673) × R
    5.44299999999387e-05 × 6371000     		dl = 346.773529999609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96709230--0.96714673) × R
    5.44299999999387e-05 × 6371000     		dr = 346.773529999609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40573792--0.40564204) × cos(-0.96709230) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.567695658246486 × 6371000     		do = 346.777733029413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40573792--0.40564204) × cos(-0.96714673) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.567650848533631 × 6371000     		du = 346.750360949998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96709230)-sin(-0.96714673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567695658246486-0.567650848533631)×R²
    abs(-0.40564204--0.40573792)×4.48097128551428e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.48097128551428e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.48097128551428e-05×40589641000000     		ar = 120248.592681024m²