Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28530 / 44981
↖ ↑ ↗
← S 55.544173°
W 23.280029°		 ← 345.57 m → S 55.544173°
W 23.274536°		 →
↑
345.56 m
↓
↑
345.56 m
↓
S 55.547281°
W 23.280029°		 ← 345.54 m →
119 410 m²		 S 55.547281°
W 23.274536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435340881347656 y=0.686363220214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435340881347656 × 216)
    floor (0.435340881347656 × 65536)
    floor (28530.5)     		tx = 28530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686363220214844 × 216)
    floor (0.686363220214844 × 65536)
    floor (44981.5)     		ty = 44981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28530 / 44981 ti = "16/28530/44981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28530/44981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28530 ÷ 216
    28530 ÷ 65536     		x = 0.435333251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44981 ÷ 216
    44981 ÷ 65536     		y = 0.686355590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435333251953125 × 2 - 1) × π
    -0.12933349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40631316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686355590820312 × 2 - 1) × π
    -0.372711181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17090671011949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40631316} λ = -0.40631316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17090671011949))-π/2
    2×atan(0.310085655960471)-π/2
    2×0.300683814267654-π/2
    0.601367628535308-1.57079632675     		φ = -0.96942870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40631316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.280029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96942870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.544173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28530 KachelY 44981 -0.40631316 -0.96942870 -23.280029 -55.544173
    Oben rechts KachelX + 1 28531 KachelY 44981 -0.40621729 -0.96942870 -23.274536 -55.544173
    Unten links KachelX 28530 KachelY + 1 44982 -0.40631316 -0.96948294 -23.280029 -55.547281
    Unten rechts KachelX + 1 28531 KachelY + 1 44982 -0.40621729 -0.96948294 -23.274536 -55.547281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96942870--0.96948294) × R
    5.42399999999832e-05 × 6371000     		dl = 345.563039999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96942870--0.96948294) × R
    5.42399999999832e-05 × 6371000     		dr = 345.563039999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40631316--0.40621729) × cos(-0.96942870) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.565770696090478 × 6371000     		do = 345.565821796444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40631316--0.40621729) × cos(-0.96948294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.56572597098158 × 6371000     		du = 345.538504246916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96942870)-sin(-0.96948294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565770696090478-0.56572597098158)×R²
    abs(-0.40621729--0.40631316)×4.47251088984135e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47251088984135e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47251088984135e-05×40589641000000     		ar = 119410.05596173m²