Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28526 / 44200
↖ ↑ ↗
← S 53.041213°
W 23.302002°		 ← 367.27 m → S 53.041213°
W 23.296509°		 →
↑
367.22 m
↓
↑
367.22 m
↓
S 53.044516°
W 23.302002°		 ← 367.24 m →
134 865 m²		 S 53.044516°
W 23.296509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435279846191406 y=0.674446105957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435279846191406 × 216)
    floor (0.435279846191406 × 65536)
    floor (28526.5)     		tx = 28526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674446105957031 × 216)
    floor (0.674446105957031 × 65536)
    floor (44200.5)     		ty = 44200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28526 / 44200 ti = "16/28526/44200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28526/44200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28526 ÷ 216
    28526 ÷ 65536     		x = 0.435272216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44200 ÷ 216
    44200 ÷ 65536     		y = 0.6744384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435272216796875 × 2 - 1) × π
    -0.12945556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40669666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6744384765625 × 2 - 1) × π
    -0.348876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.09602927291296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40669666} λ = -0.40669666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09602927291296))-π/2
    2×atan(0.334195451538166)-π/2
    2×0.322526260000389-π/2
    0.645052520000778-1.57079632675     		φ = -0.92574381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40669666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.302002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92574381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.041213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28526 KachelY 44200 -0.40669666 -0.92574381 -23.302002 -53.041213
    Oben rechts KachelX + 1 28527 KachelY 44200 -0.40660078 -0.92574381 -23.296509 -53.041213
    Unten links KachelX 28526 KachelY + 1 44201 -0.40669666 -0.92580145 -23.302002 -53.044516
    Unten rechts KachelX + 1 28527 KachelY + 1 44201 -0.40660078 -0.92580145 -23.296509 -53.044516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92574381--0.92580145) × R
    5.7640000000081e-05 × 6371000     		dl = 367.224440000516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92574381--0.92580145) × R
    5.7640000000081e-05 × 6371000     		dr = 367.224440000516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40669666--0.40660078) × cos(-0.92574381) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.601240403843528 × 6371000     		do = 367.268590523588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40669666--0.40660078) × cos(-0.92580145) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.601194344554147 × 6371000     		du = 367.240455138502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92574381)-sin(-0.92580145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601240403843528-0.601194344554147)×R²
    abs(-0.40660078--0.40669666)×4.60592893805067e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.60592893805067e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.60592893805067e-05×40589641000000     		ar = 134864.83652165m²