Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28523 / 44980
↖ ↑ ↗
← S 55.541065°
W 23.318482°		 ← 345.63 m → S 55.541065°
W 23.312988°		 →
↑
345.63 m
↓
↑
345.63 m
↓
S 55.544173°
W 23.318482°		 ← 345.60 m →
119 454 m²		 S 55.544173°
W 23.312988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435234069824219 y=0.686347961425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435234069824219 × 216)
    floor (0.435234069824219 × 65536)
    floor (28523.5)     		tx = 28523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686347961425781 × 216)
    floor (0.686347961425781 × 65536)
    floor (44980.5)     		ty = 44980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28523 / 44980 ti = "16/28523/44980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28523/44980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28523 ÷ 216
    28523 ÷ 65536     		x = 0.435226440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44980 ÷ 216
    44980 ÷ 65536     		y = 0.68634033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435226440429688 × 2 - 1) × π
    -0.129547119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40698428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68634033203125 × 2 - 1) × π
    -0.3726806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17081083632025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40698428} λ = -0.40698428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17081083632025))-π/2
    2×atan(0.310115386475564)-π/2
    2×0.300710936632827-π/2
    0.601421873265654-1.57079632675     		φ = -0.96937445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40698428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.318482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96937445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.541065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28523 KachelY 44980 -0.40698428 -0.96937445 -23.318482 -55.541065
    Oben rechts KachelX + 1 28524 KachelY 44980 -0.40688840 -0.96937445 -23.312988 -55.541065
    Unten links KachelX 28523 KachelY + 1 44981 -0.40698428 -0.96942870 -23.318482 -55.544173
    Unten rechts KachelX + 1 28524 KachelY + 1 44981 -0.40688840 -0.96942870 -23.312988 -55.544173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96937445--0.96942870) × R
    5.42500000000334e-05 × 6371000     		dl = 345.626750000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96937445--0.96942870) × R
    5.42500000000334e-05 × 6371000     		dr = 345.626750000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40698428--0.40688840) × cos(-0.96937445) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.565815427780212 × 6371000     		do = 345.629191466349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40698428--0.40688840) × cos(-0.96942870) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.565770696090478 × 6371000     		du = 345.601867047472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96937445)-sin(-0.96942870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565815427780212-0.565770696090478)×R²
    abs(-0.40688840--0.40698428)×4.47316897330685e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.47316897330685e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.47316897330685e-05×40589641000000     		ar = 119453.972155657m²