Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28522 / 44971
↖ ↑ ↗
← S 55.513082°
W 23.323975°		 ← 345.84 m → S 55.513082°
W 23.318482°		 →
↑
345.82 m
↓
↑
345.82 m
↓
S 55.516192°
W 23.323975°		 ← 345.81 m →
119 593 m²		 S 55.516192°
W 23.318482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435218811035156 y=0.686210632324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435218811035156 × 216)
    floor (0.435218811035156 × 65536)
    floor (28522.5)     		tx = 28522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686210632324219 × 216)
    floor (0.686210632324219 × 65536)
    floor (44971.5)     		ty = 44971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28522 / 44971 ti = "16/28522/44971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28522/44971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28522 ÷ 216
    28522 ÷ 65536     		x = 0.435211181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44971 ÷ 216
    44971 ÷ 65536     		y = 0.686203002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435211181640625 × 2 - 1) × π
    -0.12957763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40708015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686203002929688 × 2 - 1) × π
    -0.372406005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.16994797212709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40708015} λ = -0.40708015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16994797212709))-π/2
    2×atan(0.310383089417334)-π/2
    2×0.300955134416218-π/2
    0.601910268832436-1.57079632675     		φ = -0.96888606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40708015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.323975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96888606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.513082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28522 KachelY 44971 -0.40708015 -0.96888606 -23.323975 -55.513082
    Oben rechts KachelX + 1 28523 KachelY 44971 -0.40698428 -0.96888606 -23.318482 -55.513082
    Unten links KachelX 28522 KachelY + 1 44972 -0.40708015 -0.96894034 -23.323975 -55.516192
    Unten rechts KachelX + 1 28523 KachelY + 1 44972 -0.40698428 -0.96894034 -23.318482 -55.516192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96888606--0.96894034) × R
    5.42799999999621e-05 × 6371000     		dl = 345.817879999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96888606--0.96894034) × R
    5.42799999999621e-05 × 6371000     		dr = 345.817879999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40708015--0.40698428) × cos(-0.96888606) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.566218053432429 × 6371000     		do = 345.839062189727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40708015--0.40698428) × cos(-0.96894034) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.56617331201022 × 6371000     		du = 345.811734676229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96888606)-sin(-0.96894034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566218053432429-0.56617331201022)×R²
    abs(-0.40698428--0.40708015)×4.47414222090048e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47414222090048e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47414222090048e-05×40589641000000     		ar = 119592.606165695m²