Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28518 / 44970
↖ ↑ ↗
← S 55.509971°
W 23.345947°		 ← 345.90 m → S 55.509971°
W 23.340454°		 →
↑
345.88 m
↓
↑
345.88 m
↓
S 55.513082°
W 23.345947°		 ← 345.88 m →
119 637 m²		 S 55.513082°
W 23.340454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435157775878906 y=0.686195373535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435157775878906 × 216)
    floor (0.435157775878906 × 65536)
    floor (28518.5)     		tx = 28518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686195373535156 × 216)
    floor (0.686195373535156 × 65536)
    floor (44970.5)     		ty = 44970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28518 / 44970 ti = "16/28518/44970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28518/44970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28518 ÷ 216
    28518 ÷ 65536     		x = 0.435150146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44970 ÷ 216
    44970 ÷ 65536     		y = 0.686187744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435150146484375 × 2 - 1) × π
    -0.12969970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40746365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686187744140625 × 2 - 1) × π
    -0.37237548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16985209832785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40746365} λ = -0.40746365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16985209832785))-π/2
    2×atan(0.310412848449869)-π/2
    2×0.300982278226774-π/2
    0.601964556453549-1.57079632675     		φ = -0.96883177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40746365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.345947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96883177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.509971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28518 KachelY 44970 -0.40746365 -0.96883177 -23.345947 -55.509971
    Oben rechts KachelX + 1 28519 KachelY 44970 -0.40736777 -0.96883177 -23.340454 -55.509971
    Unten links KachelX 28518 KachelY + 1 44971 -0.40746365 -0.96888606 -23.345947 -55.513082
    Unten rechts KachelX + 1 28519 KachelY + 1 44971 -0.40736777 -0.96888606 -23.340454 -55.513082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96883177--0.96888606) × R
    5.42900000000124e-05 × 6371000     		dl = 345.881590000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96883177--0.96888606) × R
    5.42900000000124e-05 × 6371000     		dr = 345.881590000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40746365--0.40736777) × cos(-0.96883177) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.566262801428627 × 6371000     		do = 345.902470321597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40746365--0.40736777) × cos(-0.96888606) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.566218053432429 × 6371000     		du = 345.875135941892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96883177)-sin(-0.96888606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566262801428627-0.566218053432429)×R²
    abs(-0.40736777--0.40746365)×4.47479961978026e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.47479961978026e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.47479961978026e-05×40589641000000     		ar = 119636.569219839m²