Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28516 / 44963
↖ ↑ ↗
← S 55.488192°
W 23.356933°		 ← 346.06 m → S 55.488192°
W 23.351440°		 →
↑
346.01 m
↓
↑
346.01 m
↓
S 55.491303°
W 23.356933°		 ← 346.03 m →
119 734 m²		 S 55.491303°
W 23.351440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435127258300781 y=0.686088562011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435127258300781 × 216)
    floor (0.435127258300781 × 65536)
    floor (28516.5)     		tx = 28516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686088562011719 × 216)
    floor (0.686088562011719 × 65536)
    floor (44963.5)     		ty = 44963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28516 / 44963 ti = "16/28516/44963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28516/44963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28516 ÷ 216
    28516 ÷ 65536     		x = 0.43511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44963 ÷ 216
    44963 ÷ 65536     		y = 0.686080932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43511962890625 × 2 - 1) × π
    -0.1297607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40765539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686080932617188 × 2 - 1) × π
    -0.372161865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.16918098173317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40765539} λ = -0.40765539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16918098173317))-π/2
    2×atan(0.31062124158389)-π/2
    2×0.301172344966548-π/2
    0.602344689933095-1.57079632675     		φ = -0.96845164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40765539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.356933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96845164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.488192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28516 KachelY 44963 -0.40765539 -0.96845164 -23.356933 -55.488192
    Oben rechts KachelX + 1 28517 KachelY 44963 -0.40755952 -0.96845164 -23.351440 -55.488192
    Unten links KachelX 28516 KachelY + 1 44964 -0.40765539 -0.96850595 -23.356933 -55.491303
    Unten rechts KachelX + 1 28517 KachelY + 1 44964 -0.40755952 -0.96850595 -23.351440 -55.491303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96845164--0.96850595) × R
    5.43100000000019e-05 × 6371000     		dl = 346.009010000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96845164--0.96850595) × R
    5.43100000000019e-05 × 6371000     		dr = 346.009010000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40765539--0.40755952) × cos(-0.96845164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.566576073063425 × 6371000     		do = 346.057736201759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40765539--0.40755952) × cos(-0.96850595) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.566531320275306 × 6371000     		du = 346.030401746102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96845164)-sin(-0.96850595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566576073063425-0.566531320275306)×R²
    abs(-0.40755952--0.40765539)×4.47527881195509e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47527881195509e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47527881195509e-05×40589641000000     		ar = 119734.365751477m²