Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28515 / 44978
↖ ↑ ↗
← S 55.534848°
W 23.362427°		 ← 345.68 m → S 55.534848°
W 23.356933°		 →
↑
345.63 m
↓
↑
345.63 m
↓
S 55.537956°
W 23.362427°		 ← 345.66 m →
119 473 m²		 S 55.537956°
W 23.356933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435111999511719 y=0.686317443847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435111999511719 × 216)
    floor (0.435111999511719 × 65536)
    floor (28515.5)     		tx = 28515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686317443847656 × 216)
    floor (0.686317443847656 × 65536)
    floor (44978.5)     		ty = 44978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28515 / 44978 ti = "16/28515/44978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28515/44978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28515 ÷ 216
    28515 ÷ 65536     		x = 0.435104370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44978 ÷ 216
    44978 ÷ 65536     		y = 0.686309814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435104370117188 × 2 - 1) × π
    -0.129791259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40775127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686309814453125 × 2 - 1) × π
    -0.37261962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.17061908872177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40775127} λ = -0.40775127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17061908872177))-π/2
    2×atan(0.310174856057565)-π/2
    2×0.300765187795668-π/2
    0.601530375591335-1.57079632675     		φ = -0.96926595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40775127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.362427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96926595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.534848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28515 KachelY 44978 -0.40775127 -0.96926595 -23.362427 -55.534848
    Oben rechts KachelX + 1 28516 KachelY 44978 -0.40765539 -0.96926595 -23.356933 -55.534848
    Unten links KachelX 28515 KachelY + 1 44979 -0.40775127 -0.96932020 -23.362427 -55.537956
    Unten rechts KachelX + 1 28516 KachelY + 1 44979 -0.40765539 -0.96932020 -23.356933 -55.537956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96926595--0.96932020) × R
    5.42499999999224e-05 × 6371000     		dl = 345.626749999506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96926595--0.96932020) × R
    5.42499999999224e-05 × 6371000     		dr = 345.626749999506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40775127--0.40765539) × cos(-0.96926595) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.565904886163855 × 6371000     		do = 345.683837252396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40775127--0.40765539) × cos(-0.96932020) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.565860157804714 × 6371000     		du = 345.656514868017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96926595)-sin(-0.96932020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565904886163855-0.565860157804714)×R²
    abs(-0.40765539--0.40775127)×4.47283591409331e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.47283591409331e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.47283591409331e-05×40589641000000     		ar = 119472.859552949m²