Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28514 / 45002
↖ ↑ ↗
← S 55.609384°
W 23.367920°		 ← 344.99 m → S 55.609384°
W 23.362427°		 →
↑
344.99 m
↓
↑
344.99 m
↓
S 55.612487°
W 23.367920°		 ← 344.97 m →
119 014 m²		 S 55.612487°
W 23.362427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435096740722656 y=0.686683654785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435096740722656 × 216)
    floor (0.435096740722656 × 65536)
    floor (28514.5)     		tx = 28514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686683654785156 × 216)
    floor (0.686683654785156 × 65536)
    floor (45002.5)     		ty = 45002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28514 / 45002 ti = "16/28514/45002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28514/45002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28514 ÷ 216
    28514 ÷ 65536     		x = 0.435089111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45002 ÷ 216
    45002 ÷ 65536     		y = 0.686676025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435089111328125 × 2 - 1) × π
    -0.12982177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40784714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686676025390625 × 2 - 1) × π
    -0.37335205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17292005990353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40784714} λ = -0.40784714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17292005990353))-π/2
    2×atan(0.309461973128535)-π/2
    2×0.300114739735227-π/2
    0.600229479470453-1.57079632675     		φ = -0.97056685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40784714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.367920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97056685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.609384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28514 KachelY 45002 -0.40784714 -0.97056685 -23.367920 -55.609384
    Oben rechts KachelX + 1 28515 KachelY 45002 -0.40775127 -0.97056685 -23.362427 -55.609384
    Unten links KachelX 28514 KachelY + 1 45003 -0.40784714 -0.97062100 -23.367920 -55.612487
    Unten rechts KachelX + 1 28515 KachelY + 1 45003 -0.40775127 -0.97062100 -23.362427 -55.612487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97056685--0.97062100) × R
    5.41499999999751e-05 × 6371000     		dl = 344.989649999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97056685--0.97062100) × R
    5.41499999999751e-05 × 6371000     		dr = 344.989649999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40784714--0.40775127) × cos(-0.97056685) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.564831853898073 × 6371000     		do = 344.992388467363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40784714--0.40775127) × cos(-0.97062100) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.564787168163961 × 6371000     		du = 344.965094967473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97056685)-sin(-0.97062100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564831853898073-0.564787168163961)×R²
    abs(-0.40775127--0.40784714)×4.46857341126483e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46857341126483e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46857341126483e-05×40589641000000     		ar = 119014.095391564m²