Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28513 / 44959
↖ ↑ ↗
← S 55.475740°
W 23.373413°		 ← 346.20 m → S 55.475740°
W 23.367920°		 →
↑
346.20 m
↓
↑
346.20 m
↓
S 55.478854°
W 23.373413°		 ← 346.18 m →
119 851 m²		 S 55.478854°
W 23.367920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435081481933594 y=0.686027526855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435081481933594 × 216)
    floor (0.435081481933594 × 65536)
    floor (28513.5)     		tx = 28513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686027526855469 × 216)
    floor (0.686027526855469 × 65536)
    floor (44959.5)     		ty = 44959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28513 / 44959 ti = "16/28513/44959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28513/44959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28513 ÷ 216
    28513 ÷ 65536     		x = 0.435073852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44959 ÷ 216
    44959 ÷ 65536     		y = 0.686019897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435073852539062 × 2 - 1) × π
    -0.129852294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40794302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.686019897460938 × 2 - 1) × π
    -0.372039794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16879748653621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40794302} λ = -0.40794302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16879748653621))-π/2
    2×atan(0.310740386182341)-π/2
    2×0.301281001734619-π/2
    0.602562003469237-1.57079632675     		φ = -0.96823432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40794302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.373413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96823432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.475740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28513 KachelY 44959 -0.40794302 -0.96823432 -23.373413 -55.475740
    Oben rechts KachelX + 1 28514 KachelY 44959 -0.40784714 -0.96823432 -23.367920 -55.475740
    Unten links KachelX 28513 KachelY + 1 44960 -0.40794302 -0.96828866 -23.373413 -55.478854
    Unten rechts KachelX + 1 28514 KachelY + 1 44960 -0.40784714 -0.96828866 -23.367920 -55.478854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96823432--0.96828866) × R
    5.43400000000416e-05 × 6371000     		dl = 346.200140000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96823432--0.96828866) × R
    5.43400000000416e-05 × 6371000     		dr = 346.200140000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40794302--0.40784714) × cos(-0.96823432) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.566755133413896 × 6371000     		do = 346.203212043449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40794302--0.40784714) × cos(-0.96828866) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.566710362596155 × 6371000     		du = 346.175863723172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96823432)-sin(-0.96828866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566755133413896-0.566710362596155)×R²
    abs(-0.40784714--0.40794302)×4.47708177406803e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.47708177406803e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.47708177406803e-05×40589641000000     		ar = 119850.866511403m²