Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28513 / 44956
↖ ↑ ↗
← S 55.466399°
W 23.373413°		 ← 346.29 m → S 55.466399°
W 23.367920°		 →
↑
346.26 m
↓
↑
346.26 m
↓
S 55.469513°
W 23.373413°		 ← 346.26 m →
119 901 m²		 S 55.469513°
W 23.367920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435081481933594 y=0.685981750488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435081481933594 × 216)
    floor (0.435081481933594 × 65536)
    floor (28513.5)     		tx = 28513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.685981750488281 × 216)
    floor (0.685981750488281 × 65536)
    floor (44956.5)     		ty = 44956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28513 / 44956 ti = "16/28513/44956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28513/44956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28513 ÷ 216
    28513 ÷ 65536     		x = 0.435073852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44956 ÷ 216
    44956 ÷ 65536     		y = 0.68597412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435073852539062 × 2 - 1) × π
    -0.129852294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.40794302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68597412109375 × 2 - 1) × π
    -0.3719482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.16850986513849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40794302} λ = -0.40794302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16850986513849))-π/2
    2×atan(0.310829774620941)-π/2
    2×0.30136251684351-π/2
    0.60272503368702-1.57079632675     		φ = -0.96807129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40794302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.373413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96807129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.466399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28513 KachelY 44956 -0.40794302 -0.96807129 -23.373413 -55.466399
    Oben rechts KachelX + 1 28514 KachelY 44956 -0.40784714 -0.96807129 -23.367920 -55.466399
    Unten links KachelX 28513 KachelY + 1 44957 -0.40794302 -0.96812564 -23.373413 -55.469513
    Unten rechts KachelX + 1 28514 KachelY + 1 44957 -0.40784714 -0.96812564 -23.367920 -55.469513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96807129--0.96812564) × R
    5.43499999999808e-05 × 6371000     		dl = 346.263849999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96807129--0.96812564) × R
    5.43499999999808e-05 × 6371000     		dr = 346.263849999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40794302--0.40784714) × cos(-0.96807129) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.56688944406332 × 6371000     		do = 346.285255902429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40794302--0.40784714) × cos(-0.96812564) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.566844670028641 × 6371000     		du = 346.25790561708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96807129)-sin(-0.96812564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56688944406332-0.566844670028641)×R²
    abs(-0.40784714--0.40794302)×4.47740346787295e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.47740346787295e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.47740346787295e-05×40589641000000     		ar = 119901.330729292m²