Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28510 / 44320
↖ ↑ ↗
← S 53.435719°
W 23.389893°		 ← 363.90 m → S 53.435719°
W 23.384399°		 →
↑
363.85 m
↓
↑
363.85 m
↓
S 53.438991°
W 23.389893°		 ← 363.87 m →
132 399 m²		 S 53.438991°
W 23.384399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.435035705566406 y=0.676277160644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.435035705566406 × 216)
    floor (0.435035705566406 × 65536)
    floor (28510.5)     		tx = 28510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676277160644531 × 216)
    floor (0.676277160644531 × 65536)
    floor (44320.5)     		ty = 44320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28510 / 44320 ti = "16/28510/44320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28510/44320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28510 ÷ 216
    28510 ÷ 65536     		x = 0.435028076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44320 ÷ 216
    44320 ÷ 65536     		y = 0.67626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.435028076171875 × 2 - 1) × π
    -0.12994384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40823064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67626953125 × 2 - 1) × π
    -0.3525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.10753412882178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40823064} λ = -0.40823064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10753412882178))-π/2
    2×atan(0.33037261378793)-π/2
    2×0.319083544242884-π/2
    0.638167088485769-1.57079632675     		φ = -0.93262924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40823064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.389893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93262924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.435719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28510 KachelY 44320 -0.40823064 -0.93262924 -23.389893 -53.435719
    Oben rechts KachelX + 1 28511 KachelY 44320 -0.40813476 -0.93262924 -23.384399 -53.435719
    Unten links KachelX 28510 KachelY + 1 44321 -0.40823064 -0.93268635 -23.389893 -53.438991
    Unten rechts KachelX + 1 28511 KachelY + 1 44321 -0.40813476 -0.93268635 -23.384399 -53.438991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93262924--0.93268635) × R
    5.71099999999714e-05 × 6371000     		dl = 363.847809999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93262924--0.93268635) × R
    5.71099999999714e-05 × 6371000     		dr = 363.847809999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40823064--0.40813476) × cos(-0.93262924) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.595724267119292 × 6371000     		do = 363.899050241707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40823064--0.40813476) × cos(-0.93268635) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.595678396023044 × 6371000     		du = 363.871029814675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93262924)-sin(-0.93268635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595724267119292-0.595678396023044)×R²
    abs(-0.40813476--0.40823064)×4.58710962477626e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.58710962477626e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.58710962477626e-05×40589641000000     		ar = 132398.774942266m²