Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28490 / 44076
↖ ↑ ↗
← S 52.629729°
W 23.499756°		 ← 370.73 m → S 52.629729°
W 23.494263°		 →
↑
370.73 m
↓
↑
370.73 m
↓
S 52.633063°
W 23.499756°		 ← 370.70 m →
137 433 m²		 S 52.633063°
W 23.494263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434730529785156 y=0.672554016113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434730529785156 × 216)
    floor (0.434730529785156 × 65536)
    floor (28490.5)     		tx = 28490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672554016113281 × 216)
    floor (0.672554016113281 × 65536)
    floor (44076.5)     		ty = 44076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28490 / 44076 ti = "16/28490/44076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28490/44076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28490 ÷ 216
    28490 ÷ 65536     		x = 0.434722900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44076 ÷ 216
    44076 ÷ 65536     		y = 0.67254638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434722900390625 × 2 - 1) × π
    -0.13055419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41014811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67254638671875 × 2 - 1) × π
    -0.3450927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.08414092180719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41014811} λ = -0.41014811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08414092180719))-π/2
    2×atan(0.338192194674351)-π/2
    2×0.326117136824723-π/2
    0.652234273649446-1.57079632675     		φ = -0.91856205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41014811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.499756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91856205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.629729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28490 KachelY 44076 -0.41014811 -0.91856205 -23.499756 -52.629729
    Oben rechts KachelX + 1 28491 KachelY 44076 -0.41005224 -0.91856205 -23.494263 -52.629729
    Unten links KachelX 28490 KachelY + 1 44077 -0.41014811 -0.91862024 -23.499756 -52.633063
    Unten rechts KachelX + 1 28491 KachelY + 1 44077 -0.41005224 -0.91862024 -23.494263 -52.633063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91856205--0.91862024) × R
    5.8189999999958e-05 × 6371000     		dl = 370.728489999732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91856205--0.91862024) × R
    5.8189999999958e-05 × 6371000     		dr = 370.728489999732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41014811--0.41005224) × cos(-0.91856205) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606963565271618 × 6371000     		do = 370.725922503493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41014811--0.41005224) × cos(-0.91862024) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606917318925192 × 6371000     		du = 370.697675800688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91856205)-sin(-0.91862024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606963565271618-0.606917318925192)×R²
    abs(-0.41005224--0.41014811)×4.62463464265817e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62463464265817e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62463464265817e-05×40589641000000     		ar = 137433.425563485m²