Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28484 / 45004
↖ ↑ ↗
← S 55.615589°
W 23.532715°		 ← 344.97 m → S 55.615589°
W 23.527222°		 →
↑
344.99 m
↓
↑
344.99 m
↓
S 55.618691°
W 23.532715°		 ← 344.95 m →
119 008 m²		 S 55.618691°
W 23.527222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434638977050781 y=0.686714172363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434638977050781 × 216)
    floor (0.434638977050781 × 65536)
    floor (28484.5)     		tx = 28484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.686714172363281 × 216)
    floor (0.686714172363281 × 65536)
    floor (45004.5)     		ty = 45004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28484 / 45004 ti = "16/28484/45004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28484/45004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28484 ÷ 216
    28484 ÷ 65536     		x = 0.43463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45004 ÷ 216
    45004 ÷ 65536     		y = 0.68670654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.1307373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41072336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68670654296875 × 2 - 1) × π
    -0.3734130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.17311180750201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41072336} λ = -0.41072336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17311180750201))-π/2
    2×atan(0.309402640227019)-π/2
    2×0.300060591443445-π/2
    0.600121182886891-1.57079632675     		φ = -0.97067514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41072336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.532715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97067514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.615589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28484 KachelY 45004 -0.41072336 -0.97067514 -23.532715 -55.615589
    Oben rechts KachelX + 1 28485 KachelY 45004 -0.41062748 -0.97067514 -23.527222 -55.615589
    Unten links KachelX 28484 KachelY + 1 45005 -0.41072336 -0.97072929 -23.532715 -55.618691
    Unten rechts KachelX + 1 28485 KachelY + 1 45005 -0.41062748 -0.97072929 -23.527222 -55.618691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97067514--0.97072929) × R
    5.41499999999751e-05 × 6371000     		dl = 344.989649999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97067514--0.97072929) × R
    5.41499999999751e-05 × 6371000     		dr = 344.989649999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41072336--0.41062748) × cos(-0.97067514) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.564742489026438 × 6371000     		do = 344.973785240657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41072336--0.41062748) × cos(-0.97072929) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.564697799980599 × 6371000     		du = 344.946486870866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97067514)-sin(-0.97072929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.564742489026438-0.564697799980599)×R²
    abs(-0.41062748--0.41072336)×4.4689045839208e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.4689045839208e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.4689045839208e-05×40589641000000     		ar = 119007.676630774m²