Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28478 / 43808
↖ ↑ ↗
← S 51.727028°
W 23.565674°		 ← 378.37 m → S 51.727028°
W 23.560180°		 →
↑
378.37 m
↓
↑
378.37 m
↓
S 51.730431°
W 23.565674°		 ← 378.34 m →
143 159 m²		 S 51.730431°
W 23.560180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434547424316406 y=0.668464660644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434547424316406 × 216)
    floor (0.434547424316406 × 65536)
    floor (28478.5)     		tx = 28478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.668464660644531 × 216)
    floor (0.668464660644531 × 65536)
    floor (43808.5)     		ty = 43808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28478 / 43808 ti = "16/28478/43808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28478/43808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28478 ÷ 216
    28478 ÷ 65536     		x = 0.434539794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43808 ÷ 216
    43808 ÷ 65536     		y = 0.66845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434539794921875 × 2 - 1) × π
    -0.13092041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.41129860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66845703125 × 2 - 1) × π
    -0.3369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05844674361084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41129860} λ = -0.41129860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05844674361084))-π/2
    2×atan(0.346994363178064)-π/2
    2×0.333994686600669-π/2
    0.667989373201338-1.57079632675     		φ = -0.90280695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41129860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.565674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90280695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.727028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28478 KachelY 43808 -0.41129860 -0.90280695 -23.565674 -51.727028
    Oben rechts KachelX + 1 28479 KachelY 43808 -0.41120272 -0.90280695 -23.560180 -51.727028
    Unten links KachelX 28478 KachelY + 1 43809 -0.41129860 -0.90286634 -23.565674 -51.730431
    Unten rechts KachelX + 1 28479 KachelY + 1 43809 -0.41120272 -0.90286634 -23.560180 -51.730431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90280695--0.90286634) × R
    5.93899999999925e-05 × 6371000     		dl = 378.373689999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90280695--0.90286634) × R
    5.93899999999925e-05 × 6371000     		dr = 378.373689999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41129860--0.41120272) × cos(-0.90280695) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.619408762868 × 6371000     		do = 378.366759522858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41129860--0.41120272) × cos(-0.90286634) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.619362136548551 × 6371000     		du = 378.338277766615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90280695)-sin(-0.90286634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619408762868-0.619362136548551)×R²
    abs(-0.41120272--0.41129860)×4.66263194490724e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.66263194490724e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.66263194490724e-05×40589641000000     		ar = 143158.638642585m²