Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28475 / 44077
↖ ↑ ↗
← S 52.633063°
W 23.582153°		 ← 370.70 m → S 52.633063°
W 23.576660°		 →
↑
370.73 m
↓
↑
370.73 m
↓
S 52.636397°
W 23.582153°		 ← 370.67 m →
137 423 m²		 S 52.636397°
W 23.576660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434501647949219 y=0.672569274902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434501647949219 × 216)
    floor (0.434501647949219 × 65536)
    floor (28475.5)     		tx = 28475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672569274902344 × 216)
    floor (0.672569274902344 × 65536)
    floor (44077.5)     		ty = 44077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28475 / 44077 ti = "16/28475/44077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28475/44077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28475 ÷ 216
    28475 ÷ 65536     		x = 0.434494018554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44077 ÷ 216
    44077 ÷ 65536     		y = 0.672561645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434494018554688 × 2 - 1) × π
    -0.131011962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.41158622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672561645507812 × 2 - 1) × π
    -0.345123291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.08423679560643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41158622} λ = -0.41158622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08423679560643))-π/2
    2×atan(0.33815977245802)-π/2
    2×0.326088041981794-π/2
    0.652176083963589-1.57079632675     		φ = -0.91862024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41158622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.582153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91862024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.633063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28475 KachelY 44077 -0.41158622 -0.91862024 -23.582153 -52.633063
    Oben rechts KachelX + 1 28476 KachelY 44077 -0.41149035 -0.91862024 -23.576660 -52.633063
    Unten links KachelX 28475 KachelY + 1 44078 -0.41158622 -0.91867843 -23.582153 -52.636397
    Unten rechts KachelX + 1 28476 KachelY + 1 44078 -0.41149035 -0.91867843 -23.576660 -52.636397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91862024--0.91867843) × R
    5.8190000000069e-05 × 6371000     		dl = 370.72849000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91862024--0.91867843) × R
    5.8190000000069e-05 × 6371000     		dr = 370.72849000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41158622--0.41149035) × cos(-0.91862024) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606917318925192 × 6371000     		do = 370.697675800688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41158622--0.41149035) × cos(-0.91867843) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606871070523697 × 6371000     		du = 370.669427842673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91862024)-sin(-0.91867843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606917318925192-0.606871070523697)×R²
    abs(-0.41149035--0.41158622)×4.62484014949194e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62484014949194e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62484014949194e-05×40589641000000     		ar = 137422.9534735m²