Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28466 / 43773
↖ ↑ ↗
← S 51.607783°
W 23.631592°		 ← 379.32 m → S 51.607783°
W 23.626099°		 →
↑
379.33 m
↓
↑
379.33 m
↓
S 51.611195°
W 23.631592°		 ← 379.30 m →
143 883 m²		 S 51.611195°
W 23.626099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434364318847656 y=0.667930603027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434364318847656 × 216)
    floor (0.434364318847656 × 65536)
    floor (28466.5)     		tx = 28466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667930603027344 × 216)
    floor (0.667930603027344 × 65536)
    floor (43773.5)     		ty = 43773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28466 / 43773 ti = "16/28466/43773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28466/43773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28466 ÷ 216
    28466 ÷ 65536     		x = 0.434356689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43773 ÷ 216
    43773 ÷ 65536     		y = 0.667922973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434356689453125 × 2 - 1) × π
    -0.13128662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41244908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667922973632812 × 2 - 1) × π
    -0.335845947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.05509116063744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41244908} λ = -0.41244908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.05509116063744))-π/2
    2×atan(0.348160687309315)-π/2
    2×0.335035294663203-π/2
    0.670070589326406-1.57079632675     		φ = -0.90072574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41244908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.631592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90072574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.607783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28466 KachelY 43773 -0.41244908 -0.90072574 -23.631592 -51.607783
    Oben rechts KachelX + 1 28467 KachelY 43773 -0.41235321 -0.90072574 -23.626099 -51.607783
    Unten links KachelX 28466 KachelY + 1 43774 -0.41244908 -0.90078528 -23.631592 -51.611195
    Unten rechts KachelX + 1 28467 KachelY + 1 43774 -0.41235321 -0.90078528 -23.626099 -51.611195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90072574--0.90078528) × R
    5.95399999999691e-05 × 6371000     		dl = 379.329339999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90072574--0.90078528) × R
    5.95399999999691e-05 × 6371000     		dr = 379.329339999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41244908--0.41235321) × cos(-0.90072574) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.621041312948649 × 6371000     		do = 379.324438613769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41244908--0.41235321) × cos(-0.90078528) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.620994645715848 × 6371000     		du = 379.295934838715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90072574)-sin(-0.90078528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621041312948649-0.620994645715848)×R²
    abs(-0.41235321--0.41244908)×4.66672328006679e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66672328006679e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66672328006679e-05×40589641000000     		ar = 143883.482828375m²